Mostre que:
|cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & a+1 & 1 & 1 1 & 1 & b+1 & 1 1 & 1 & 1 & c+1|= a.b.c

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante
D = |cccc 1 & 1 & 1 & 1 1 & a+1 & 1 & 1 1 & 1 & b+1 & 1 1 & 1 & 1 & c+1 |
vale a,b,c. Vamos usar operações elementares de linha, que não alteram o valor do determinante quando somamos múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Subtraímos a primeira linha de cada uma das linhas 2, 3 e 4. Como operação do tipo “ Li >=ts Li - L1” não muda o determinante, obtemos uma nova matriz equivalente:

Passo 3

Após a operação, o determinante vira
D = |cccc 1 & 1 & 1 & 1 0 & (a+1)-1 & 1-1 & 1-1 0 & 1-1 & (b+1)-1 & 1-1 0 & 1-1 & 1-1 & (c+1)-1 | = |cccc 1 & 1 & 1 & 1 0 & a & 0 & 0 0 & 0 & b & 0 0 & 0 & 0 & c |

Passo 4

Note que essa matriz é triangular em bloco: a primeira linha tem entradas não-nulas, mas nas colunas abaixo dela só aparecem zeros na primeira coluna. Logo, o determinante dela é o produto do pivô da primeira linha (que é 1) pelo determinante do bloco 3times3 diagonal diag(a,b,c). Assim,
D = 1 times l(a cdot b cdot cr) = a,b,c

Resposta

a,b,c

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