O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
M = a & a & a & a [6pt] a & b & b & b [6pt] a & b & c & c [6pt] a & b & c & d
é
det(M) ;=; a,(b - a),(c - b),(d - c)
O conteúdo usado será propriedades de determinantes (linearidade em colunas e invariância a operações do tipo “coluna j ← coluna j – coluna i”) e o cálculo de determinantes de matrizes triangulares.]
Passo 2
Aplicamos operações elementares em colunas que não alteram o valor do determinante:
C2 ← C2 – C1,
C3 ← C3 – C2(antes da operação),
C4 ← C4 – C3(antes da operação).
Após essas operações, a matriz fica
M' = a & 0 & 0 & 0 [4pt] a & b - a & 0 & 0 [4pt] a & b - a & c - b & 0 [4pt] a & b - a & c - b & d - c ]
Passo 3
Observamos que em M' a última coluna tem só um único elemento não nulo, na posição (4,4). Logo podemos desenvolver o determinante por essa coluna:
det(M') ;=; (d - c),det a & 0 & 0 [4pt] a & b - a & 0 [4pt] a & b - a & c - b ]
Passo 4
A matriz 3times3
N = a & 0 & 0 [4pt] a & b - a & 0 [4pt] a & b - a & c - b
é triangular inferior, pois os elementos acima da diagonal principal são zeros. Portanto
det(N) ;=; a ,l(b - ar),l(c - br) ]
Passo 5
Como det(M')=det(M) pelas operações de colunas e juntando tudo, temos