Mostre que:
|lllla & a & a & a a & b & b & b a & b & c & c a & b & c & d|=a(b-a) cdot(c-b) cdot(d-c)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
M = a & a & a & a [6pt] a & b & b & b [6pt] a & b & c & c [6pt] a & b & c & d
é
det(M) ;=; a,(b - a),(c - b),(d - c)
O conteúdo usado será propriedades de determinantes (linearidade em colunas e invariância a operações do tipo “coluna j ← coluna j – coluna i”) e o cálculo de determinantes de matrizes triangulares.]

Passo 2

Aplicamos operações elementares em colunas que não alteram o valor do determinante:
C2 ← C2 – C1,
C3 ← C3 – C2(antes da operação),
C4 ← C4 – C3(antes da operação).
Após essas operações, a matriz fica
M' = a & 0 & 0 & 0 [4pt] a & b - a & 0 & 0 [4pt] a & b - a & c - b & 0 [4pt] a & b - a & c - b & d - c ]

Passo 3

Observamos que em M' a última coluna tem só um único elemento não nulo, na posição (4,4). Logo podemos desenvolver o determinante por essa coluna:
det(M') ;=; (d - c),det a & 0 & 0 [4pt] a & b - a & 0 [4pt] a & b - a & c - b ]

Passo 4

A matriz 3times3
N = a & 0 & 0 [4pt] a & b - a & 0 [4pt] a & b - a & c - b
é triangular inferior, pois os elementos acima da diagonal principal são zeros. Portanto
det(N) ;=; a ,l(b - ar),l(c - br) ]

Passo 5

Como det(M')=det(M) pelas operações de colunas e juntando tudo, temos
det(M) ;=; (d - c),det(N) ;=;(d - c),l[a,(b - a),(c - b)r] ;=;a,(b - a),(c - b),(d - c)

Resposta

det a & a & a & a [3pt] a & b & b & b [3pt] a & b & c & c [3pt] a & b & c & d ;=; a,(b - a),(c - b),(d - c) ]

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