Mostre que:
|\operatorname{sen} x| \leq|\operatorname{sen} z|, se z=x+i y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para z=x+i y (com x,y reais),
|\operatorname{sen} x|\leq|\operatorname{sen} z|.
Informações dadas:
  • A variável complexa é z=x+i y.
  • Deve-se comparar o valor absoluto (módulo) da função seno no argumento real x com o módulo da função seno no argumento complexo z.

Passo 2

Definição útil e fórmula que vamos usar: para w\in\mathbb{C} vale a representação exponencial do seno
\operatorname{sen} w=\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2i}.
Aqui e^{i w} é a exponencial complexa. Vou aplicar essa fórmula com w=z=x+i y.

Passo 3

Calcular e^{i z} e e^{-i z} usando z=x+i y. Temos
e^{i z}=e^{i(x+i y)}=e^{i x-y}=e^{-y}e^{i x},
e^{-i z}=e^{-i(x+i y)}=e^{-i x+y}=e^{y}e^{-i x}.
Essas igualdades vêm de separar a parte real e imaginária no expoente e usar e^{a+b}=e^a e^b.

Passo 4

Inserir e^{i z} e e^{-i z} na fórmula do seno:
\operatorname{sen} z=\frac{e^{-y}e^{i x}-e^{y}e^{-i x}}{2i}.
Agora escrever e^{i x} e e^{-i x} em termos de \operatorname{sen} x e \cos x (fórmula de Euler): e^{i x}=\cos x + i\operatorname{sen} x e e^{-i x}=\cos x - i\operatorname{sen} x. Substituindo:
\operatorname{sen} z=\frac{e^{-y}(\cos x + i\operatorname{sen} x)-e^{y}(\cos x - i\operatorname{sen} x)}{2i}.

Passo 5

Separar a parte real e imaginária e reorganizar. Expandindo o numerador:
e^{-y}\cos x + i e^{-y}\operatorname{sen} x - e^{y}\cos x + i e^{y}\operatorname{sen} x.
Agrupando termos com \cos x e com \operatorname{sen} x:
\operatorname{sen} z=\frac{(e^{-y}-e^{y})\cos x + i(e^{-y}+e^{y})\operatorname{sen} x}{2i}.
Agora usar as definições das funções hiperbólicas \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}:
\operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\qquad \operatorname{sinh} y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Reescrevendo os coeficientes:
e^{-y}-e^{y}=-2\operatorname{sinh} y,\qquad e^{-y}+e^{y}=2\operatorname{cosh} y.
Substituindo no numerador e simplificando:
\operatorname{sen} z=\frac{-2\operatorname{sinh} y\cos x + i\cdot 2\operatorname{cosh} y\operatorname{sen} x}{2i} = \operatorname{sen} x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.
Observação: troquei a ordem dos termos e o sinal ao dividir por 2i; o resultado final é a forma clássica
\operatorname{sen} z=\operatorname{sen} x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.

Passo 6

Agora usamos a definição de módulo de um número complexo: se u=a+i b com a,b reais então
|u|^2=a^2+b^2.
No nosso caso, a parte real de \operatorname{sen} z é a=\operatorname{sen} x\operatorname{cosh} y e a parte imaginária é b=\cos x\operatorname{sinh} y. Portanto
|\operatorname{sen} z|^2=(\operatorname{sen} x\operatorname{cosh} y)^2+(\cos x\operatorname{sinh} y)^2.

Passo 7

Desenvolver e simplificar a expressão de |\operatorname{sen} z|^2:
|\operatorname{sen} z|^2=\operatorname{sen}^2 x\operatorname{cosh}^2 y + \cos^2 x\operatorname{sinh}^2 y.
Usar \operatorname{cosh}^2 y=1+\operatorname{sinh}^2 y (identidade hiperbólica) e \operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1 (identidade trigonométrica). Substituindo:
|\operatorname{sen} z|^2=\operatorname{sen}^2 x(1+\operatorname{sinh}^2 y)+\cos^2 x\operatorname{sinh}^2 y =\operatorname{sen}^2 x + (\operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x)\operatorname{sinh}^2 y.
Pela identidade trigonométrica,
|\operatorname{sen} z|^2=\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sinh}^2 y.

Passo 8

Como \operatorname{sinh}^2 y\geq 0 para todo y\in\mathbb{R}, temos
|\operatorname{sen} z|^2=\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sinh}^2 y \ge \operatorname{sen}^2 x.
Tomando raízes não negativas de ambos os lados (módulos são não negativos),
|\operatorname{sen} z|\ge |\operatorname{sen} x|.
Portanto a desigualdade pedida está provada. Nota: igualdade ocorre exatamente quando \operatorname{sinh}^2 y=0, ou seja para \,y=0, caso em que z=x é real.

Resposta

|\operatorname{sen} x|\leq|\operatorname{sen} z|

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