Mostre que:
, se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
(com
reais),
Informações dadas:
- A variável complexa é
. - Deve-se comparar o valor absoluto (módulo) da função seno no argumento real
com o módulo da função seno no argumento complexo .
Passo 2
Definição útil e fórmula que vamos usar: para
vale a representação exponencial do seno
Aqui
é a exponencial complexa. Vou aplicar essa fórmula com
.
Passo 3
Calcular
e
usando
. Temos
Essas igualdades vêm de separar a parte real e imaginária no expoente e usar
.
Passo 4
Inserir
e
na fórmula do seno:
Agora escrever
e
em termos de
e
(fórmula de Euler):
e
. Substituindo:
Passo 5
Separar a parte real e imaginária e reorganizar. Expandindo o numerador:
Agrupando termos com
e com
:
Agora usar as definições das funções hiperbólicas
e
:
Reescrevendo os coeficientes:
Substituindo no numerador e simplificando:
Observação: troquei a ordem dos termos e o sinal ao dividir por
; o resultado final é a forma clássica
Passo 6
Agora usamos a definição de módulo de um número complexo: se
com
reais então
No nosso caso, a parte real de
é
e a parte imaginária é
. Portanto
Passo 7
Desenvolver e simplificar a expressão de
:
Usar
(identidade hiperbólica) e
(identidade trigonométrica). Substituindo:
Pela identidade trigonométrica,
Passo 8
Como
para todo
, temos
Tomando raízes não negativas de ambos os lados (módulos são não negativos),
Portanto a desigualdade pedida está provada. Nota: igualdade ocorre exatamente quando
, ou seja para
, caso em que
é real.