Mostre que:
|\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{sinh} ^{2} y, z=x+i y

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Está dado z=x+i y, com x,y\in\mathbb{R}.
  • Pede-se mostrar que
\left|\operatorname{sen} z\right|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{sinh}^{2} y.

Passo 2

Definição útil (forma exponencial da função seno complexa). Para todo z\in\mathbb{C} vale
\operatorname{sen} z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
Também use as definições das funções hiperbólicas:
\operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\qquad \operatorname{sinh} y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.

Passo 3

Calcule e^{iz} e e^{-iz} para z=x+iy. Temos
e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{ix-y}=e^{-y}(\cos x+i\sin x),
e^{-iz}=e^{-i(x+iy)}=e^{-ix+y}=e^{y}(\cos x-i\sin x).

Passo 4

Substitua em \operatorname{sen} z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} e simplifique passo a passo:
e^{iz}-e^{-iz}=e^{-y}(\cos x+i\sin x)-e^{y}(\cos x-i\sin x).
Agrupando termos reais e imaginários:
e^{iz}-e^{-iz}=(e^{-y}-e^{y})\cos x + i(e^{-y}+e^{y})\sin x.
Usando \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}:
e^{iz}-e^{-iz}=-2\operatorname{sinh} y\cos x + i\,2\operatorname{cosh} y\sin x.
Dividindo por 2i:
\operatorname{sen} z=\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.

Passo 5

Identifique partes real e imaginária da expressão encontrada:
  • parte real: \Re(\operatorname{sen} z)=\sin x\operatorname{cosh} y,
  • parte imaginária: \Im(\operatorname{sen} z)=\cos x\operatorname{sinh} y.
Lembre que, para w=a+ib, |w|^{2}=a^{2}+b^{2}. Portanto
\left|\operatorname{sen} z\right|^{2}=(\sin x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\cos x\operatorname{sinh} y)^{2}.

Passo 6

Simplifique a expressão anterior usando as identidades \operatorname{cosh}^{2}y=1+\operatorname{sinh}^{2}y e \sin^{2}x+\cos^{2}x=1:
\begin{aligned} \left|\operatorname{sen} z\right|^{2} &=\sin^{2}x\,\operatorname{cosh}^{2}y+\cos^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y\\[4pt] &=\sin^{2}x\,(1+\operatorname{sinh}^{2}y)+\cos^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y\\[4pt] &=\sin^{2}x+\bigl(\sin^{2}x+\cos^{2}x\bigr)\operatorname{sinh}^{2}y\\[4pt] &=\sin^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}y. \end{aligned}]

Resposta

\left|\operatorname{sen} z\right|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{sinh}^{2} y

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