Mostre que:
se e só se
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: mostrar a equivalência lógica entre a igualdade das cossenos e uma condição linear entre
e
. Mais precisamente, provar que
se e só se
Aqui
e
são números complexos (a identidade vale também para reaís, que são caso particular). Não vou resolver ainda: apenas destaquei qual é a afirmação a ser demonstrada.
Passo 2
Fórmula que vou usar e por que ela vale: escrever o cosseno em termos da exponencial complexa. Para qualquer
vale a definição
Explanação rápida: a função exponencial
é inteira e não se anula, e a combinação acima coincide com o cosseno quando
é real e define a continuação analítica para
complexo. Também usarei a propriedade fundamental da exponencial complexa: para
,
pois a função
é periódica com período
.
Passo 3
Traduzir a igualdade
em exponenciais. Usando a fórmula do passo 2,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 4
Substituição conveniente e manipulação algébrica. Defina
Observação:
e
porque a exponencial nunca é zero. Com essas letras a igualdade do passo 3 fica
Multiplicando por
(válido porque
) chega-se a
Colocando todos os termos em um lado:
Agrupando convenientemente:
Uma fatoração mais direta é observar
Portanto chegamos à equação fatorada
Passo 5
Interpretação dos fatores: a equação fatorada diz que pelo menos um dos fatores é zero. Assim existem duas possibilidades:
Caso A:
.
Caso B:
.
Vou tratar os dois casos separadamente.
Passo 6
Estudar o Caso A:
. Isso significa
Pela propriedade da exponencial (passo 2) existe
tal que
Cancelando
(ou dividindo por
) obtemos
ou seja
Isso é exatamente uma das formas desejadas.
Passo 7
Estudar o Caso B:
. Escrevendo de volta em termos de
,
Pela propriedade da exponencial, existe
tal que
Cancelando
obtemos
ou seja
Isso é a outra forma desejada.
Passo 8
Juntando os dois casos: da manipulação anterior provou-se que se
então necessariamente ou
ou
; de forma compacta,
Passo 9
Verificar a implicação inversa (converso) para completar a equivalência: mostrar que se
ou
então
.
Se
então
. Como
, tem-se
Se
então
. Então
onde usei
e a simetria da soma. Assim em ambos os casos
.
Passo 10
Conclusão final: juntando a direção provada nos passos 4–8 e o converso do passo 9, obteve-se a equivalência desejada.