Mostre que:
\cos z=\cos w se e só se z \pm w=2 k \pi, k \in Z

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: mostrar a equivalência lógica entre a igualdade das cossenos e uma condição linear entre z e w. Mais precisamente, provar que
\cos z=\cos w
se e só se
z\pm w=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.
Aqui z e w são números complexos (a identidade vale também para reaís, que são caso particular). Não vou resolver ainda: apenas destaquei qual é a afirmação a ser demonstrada.

Passo 2

Fórmula que vou usar e por que ela vale: escrever o cosseno em termos da exponencial complexa. Para qualquer u\in\mathbb C vale a definição
\cos u=\frac{e^{i u}+e^{-i u}}{2}.
Explanação rápida: a função exponencial e^{z} é inteira e não se anula, e a combinação acima coincide com o cosseno quando u é real e define a continuação analítica para u complexo. Também usarei a propriedade fundamental da exponencial complexa: para a,b\in\mathbb C,
e^{a}=e^{b}\quad\Longleftrightarrow\quad a-b=2\pi i k\text{ para algum }k\in\mathbb Z,
pois a função e^{z} é periódica com período 2\pi i.

Passo 3

Traduzir a igualdade \cos z=\cos w em exponenciais. Usando a fórmula do passo 2,
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
e^{iz}+e^{-iz}=e^{iw}+e^{-iw}.

Passo 4

Substituição conveniente e manipulação algébrica. Defina
u:=e^{iz},\qquad v:=e^{iw}.
Observação: u\neq0 e v\neq0 porque a exponencial nunca é zero. Com essas letras a igualdade do passo 3 fica
u+\frac{1}{u}=v+\frac{1}{v}.
Multiplicando por uv (válido porque uv\neq0) chega-se a
u^{2}v+v=v^{2}u+u.
Colocando todos os termos em um lado:
u^{2}v+v-v^{2}u-u=0.
Agrupando convenientemente:
v(u^{2}+1)-u(v^{2}+1)=0.
Uma fatoração mais direta é observar
u^{2}v+v-v^{2}u-u=(u-v)(uv-1).
Portanto chegamos à equação fatorada
(u-v)(uv-1)=0.

Passo 5

Interpretação dos fatores: a equação fatorada diz que pelo menos um dos fatores é zero. Assim existem duas possibilidades:
Caso A: u=v.
Caso B: uv=1.
Vou tratar os dois casos separadamente.

Passo 6

Estudar o Caso A: u=v. Isso significa
e^{iz}=e^{iw}.
Pela propriedade da exponencial (passo 2) existe k\in\mathbb Z tal que
iz-iw=2\pi i k.
Cancelando i (ou dividindo por i) obtemos
z-w=2\pi k,
ou seja
z-w=2k\pi.
Isso é exatamente uma das formas desejadas.

Passo 7

Estudar o Caso B: uv=1. Escrevendo de volta em termos de z,w,
e^{iz}e^{iw}=1 \quad\Longrightarrow\quad e^{i(z+w)}=1.
Pela propriedade da exponencial, existe k\in\mathbb Z tal que
i(z+w)=2\pi i k.
Cancelando i obtemos
z+w=2\pi k,
ou seja
z+w=2k\pi.
Isso é a outra forma desejada.

Passo 8

Juntando os dois casos: da manipulação anterior provou-se que se \cos z=\cos w então necessariamente ou z-w=2k\pi ou z+w=2k\pi; de forma compacta,
z\pm w=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.

Passo 9

Verificar a implicação inversa (converso) para completar a equivalência: mostrar que se z-w=2k\pi ou z+w=2k\pi então \cos z=\cos w.
Se z-w=2k\pi então z=w+2k\pi. Como e^{i2k\pi}=1, tem-se
\cos z=\frac{e^{i(w+2k\pi)}+e^{-i(w+2k\pi)}}{2}=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=\cos w.
Se z+w=2k\pi então z=2k\pi-w. Então
\cos z=\cos(2k\pi-w)=\frac{e^{i(2k\pi-w)}+e^{-i(2k\pi-w)}}{2}=\frac{e^{-iw}+e^{iw}}{2}=\cos w,
onde usei e^{i2k\pi}=1 e a simetria da soma. Assim em ambos os casos \cos z=\cos w.

Passo 10

Conclusão final: juntando a direção provada nos passos 4–8 e o converso do passo 9, obteve-se a equivalência desejada.

Resposta

\cos z=\cos w\iff z\pm w=2k\pi,\;k\in\mathbb Z

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