Mostre que
se
são unitários. (Sugestão: considere os vetores no círculo trigonométrico.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para vetores unitários
e
, vale
O conteúdo principal é geometria vetorial no plano: o módulo do produto vetorial de vetores unitários é
, onde
é o ângulo entre eles, e a distância entre dois pontos na circunferência unitária (o comprimento da corda) é
. Vamos usar essas fórmulas e comparar.
Passo 2
Seja
o ângulo orientado mínimo entre
e
. No círculo trigonométrico,
e
são dois raios de comprimento 1 que formam esse ângulo
.
Passo 3
Como
e
são unitários, sabemos da definição do produto vetorial em
(que restringimos ao plano) que
Passo 4
Para a diferença, como
e
estão na circunferência de raio 1, o segmento
é uma corda cujo comprimento é
Isso é uma fórmula clássica de trigonometria: a corda de ângulo
em círculo de raio 1 tem tamanho
.
Passo 5
Agora comparamos
Usemos a identidade
. Assim
pois
. Logo