Mostre que |u times v| <=|u-v| se u, v são unitários. (Sugestão: considere os vetores no círculo trigonométrico.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para vetores unitários u e v, vale
|utimesv|;<=;|u-v|
O conteúdo principal é geometria vetorial no plano: o módulo do produto vetorial de vetores unitários é sintheta, onde theta é o ângulo entre eles, e a distância entre dois pontos na circunferência unitária (o comprimento da corda) é 2sin(theta/2). Vamos usar essas fórmulas e comparar.

Passo 2

Seja thetain[0,pi] o ângulo orientado mínimo entre u e v. No círculo trigonométrico, u e v são dois raios de comprimento 1 que formam esse ângulo theta.

Passo 3

Como u e v são unitários, sabemos da definição do produto vetorial em R^3 (que restringimos ao plano) que
|utimesv| ;=;|u|;|v|;sintheta ;=;1cdot1cdotsintheta ;=;sintheta

Passo 4

Para a diferença, como u e v estão na circunferência de raio 1, o segmento utov é uma corda cujo comprimento é
|u-v|;=;2sinl(tfractheta2r)
Isso é uma fórmula clássica de trigonometria: a corda de ângulo theta em círculo de raio 1 tem tamanho 2sin(theta/2).

Passo 5

Agora comparamos
|utimesv| ;=;sintheta e |u-v| ;=;2sinl(tfractheta2r)
Usemos a identidade sintheta=2sin(theta/2)cos(theta/2). Assim
sintheta =2sinl(tfractheta2r)cosl(tfractheta2r) <=2sinl(tfractheta2r),
pois cos(theta/2)<=1. Logo
|utimesv| ;=;sintheta ;<=;2sinl(tfractheta2r) ;=;|u-v|

Resposta

|utimesv|<=|u-v|

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