Mostre que |u+v|^2=|u^2|^2+2 u v+|v|^2.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade de vetores
|vec u + vec v|^2 = |vec u|^2 + 2,vec ucdotvec v + |vec v|^2
O conteúdo teórico necessário é a definição de norma em termos de produto escalar: para todo vetor vec w,
|vec w|^2 = vec w cdot vec w
e as propriedades bilinearidade e comutatividade do produto escalar.

Passo 2

Usamos a definição de norma ao quadrado aplicada à soma dos vetores:
|vec u + vec v|^2 = (vec u + vec v)cdot(vec u + vec v)

Passo 3

Pela bilinearidade do produto escalar, expandimos o lado direito:
(vec u + vec v)cdot(vec u + vec v) = vec ucdotvec u ;+;vec ucdotvec v;+;vec vcdotvec u;+;vec vcdotvec v

Passo 4

Pela comutatividade vec ucdotvec v = vec vcdotvec u e identificando vec ucdotvec u = |vec u|^2 e vec vcdotvec v = |vec v|^2, obtemos
|vec u + vec v|^2 = |vec u|^2 + 2,vec ucdotvec v + |vec v|^2

Resposta

|vec u + vec v|^2 = |vec u|^2 + 2,vec ucdotvec v + |vec v|^2

Exercícios relacionados