1. Mostre que
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2},
para quaisquer vetores u, v \in \mathbb{R}^{2}.
Solução 1: Sejam u=\left(x_{1}, y_{1}\right) e v=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}, queremos mostrar que
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2}
Calculando,
\begin{aligned} & \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2} \\\ & =\left\|\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2}\right)\right\|^{2} \\\ & =\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2} \\\ & =x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+2 y_{1} y_{2}+y_{2}^{2}+x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-2 y_{1} y_{2}+y_{2}^{2} \\\ & =2 x_{1}^{2}+2 y_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 y_{2}^{2} \\\ & =2\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)+2\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) \\\ & =2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2} \end{aligned}
Solução 2: Podemos também resolver usando as propriendades do produto interno, da seguinte maneira:
\begin{aligned} & \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2} \\\ & =\langle u+v, u+v\rangle+\langle u-v, u-v\rangle \\\ & =\langle u, u\rangle+\langle u, v\rangle+\langle v, u\rangle+\langle v, v\rangle+\langle u, u\rangle-\langle u, v\rangle-\langle v, u\rangle+\langle v, v\rangle \\\ & =2\langle u, u\rangle+2\langle v, v\rangle \\\ & =2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar a identidade do paralelogramo
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2}
para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{2}. Para isso, vamos usar a definição da norma induzida pelo produto interno
\|w\|^{2}=\langle w,w\rangle
e as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle.

Passo 2

Reescrevemos o lado esquerdo em termos de produto interno:
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2} =\langle u+v,\,u+v\rangle +\langle u-v,\,u-v\rangle.

Passo 3

Agora expandimos cada produto interno usando bilinearidade \langle a+b,c\rangle=\langle a,c\rangle+\langle b,c\rangle e simetria \langle a,b\rangle=\langle b,a\rangle:
\langle u+v,\,u+v\rangle =\langle u,u\rangle+\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle,
\langle u-v,\,u-v\rangle =\langle u,u\rangle-\langle u,v\rangle-\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle.

Passo 4

Somando essas duas expressões, os termos \langle u,v\rangle e \langle v,u\rangle se cancelam:
\langle u+v,u+v\rangle +\langle u-v,u-v\rangle =2\langle u,u\rangle+2\langle v,v\rangle =2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2}.

Resposta

A igualdade
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2}
fica assim demonstrada.

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