Mostre que
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2},
para quaisquer vetores u, v \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade do paralelogramo em \mathbb{R}^{2}, que diz:
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2}.
Aqui usamos que a norma é definida pela forma interna (produto escalar) em \mathbb{R}^{2}, ou seja \|w\|^{2}=w\cdot w, e que o produto escalar é bilinear e simétrico.

Passo 2

Calcular \|u+v\|^{2} pela definição da norma:
\|u+v\|^{2}=(u+v)\cdot(u+v) =u\cdot u+2\,(u\cdot v)+v\cdot v =\|u\|^{2}+2\,(u\cdot v)+\|v\|^{2}.

Passo 3

Calcular \|u-v\|^{2} de modo análogo:
\|u-v\|^{2}=(u-v)\cdot(u-v) =u\cdot u-2\,(u\cdot v)+v\cdot v =\|u\|^{2}-2\,(u\cdot v)+\|v\|^{2}.

Passo 4

Somar as duas expressões obtidas:
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2} =\bigl(\|u\|^{2}+2\,(u\cdot v)+\|v\|^{2}\bigr) +\bigl(\|u\|^{2}-2\,(u\cdot v)+\|v\|^{2}\bigr) =2\,\|u\|^{2}+2\,\|v\|^{2}.

Resposta

Dessa forma fica comprovado que
\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\|u\|^{2}+2\|v\|^{2}.

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