O enunciado pede para mostrarmos a identidade em álgebra de vetores que relaciona o quadrado da norma da soma de dois vetores e com seus comprimentos individuais e o produto escalar. Vamos usar a definição de norma em termos do produto escalar: para todo vetor , vale .
Passo 2
Aplicamos a definição acima à soma :
Passo 3
Agora usamos a bilinearidade do produto escalar, ou seja, (vec a+vec b)cdot(vec c+vec d)=vec acdotvec c+vec acdotvec d+vec bcdotvec c+vec bcdotvec d. Assim,
(u + v) cdot (u + v) = ucdotu + ucdotv + vcdotu + vcdotv
Passo 4
Como o produto escalar é comutativo (ucdotv=vcdotu) e usando ucdotu=lverturvert^2, vcdotv=lvertvrvert^2, obtemos
llvert u + vrrvert^2 = lverturvert^2 + 2,ucdotv + lvertvrvert^2
Resposta
llvert u + vrrvert^2 = lverturvert^2 + 2,ucdotv + lvertvrvert^2