Mostre que |u+v|^2=|u|^2+2 u cdot v+|v|^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a identidade em álgebra de vetores que relaciona o quadrado da norma da soma de dois vetores u e v com seus comprimentos individuais e o produto escalar. Vamos usar a definição de norma em termos do produto escalar: para todo vetor w, vale |vec w|^2 = vec w cdot vec w.

Passo 2

Aplicamos a definição acima à soma u + v:
llvert u + vrrvert^2 = (u + v) cdot (u + v)

Passo 3

Agora usamos a bilinearidade do produto escalar, ou seja, (vec a+vec b)cdot(vec c+vec d)=vec acdotvec c+vec acdotvec d+vec bcdotvec c+vec bcdotvec d. Assim,
(u + v) cdot (u + v) = ucdotu + ucdotv + vcdotu + vcdotv

Passo 4

Como o produto escalar é comutativo ( ucdotv=vcdotu) e usando ucdotu=lverturvert^2, vcdotv=lvertvrvert^2, obtemos
llvert u + vrrvert^2 = lverturvert^2 + 2,ucdotv + lvertvrvert^2

Resposta

llvert u + vrrvert^2 = lverturvert^2 + 2,ucdotv + lvertvrvert^2

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