Mostre as seguintes igualdades:
alpha(-v)=-(alpha v)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a propriedade de um espaço vetorial que envolve multiplicação escalar e vetor oposto, ou seja,
alpha(-vec v)= -(alpha,vec v)
Vamos usar a definição de vetor oposto, a associatividade da multiplicação escalar e a propriedade de elemento inverso no corpo de escalares.

Passo 2

Pela definição de vetor oposto em espaços vetoriais, temos
-vec v = (-1),vec v
Substituindo em alpha(-vec v) e aplicando a associatividade entre escalares e vetores, obtemos
alpha(-vec v) = alphal((-1),vec vr) = (alphacdot(-1)),vec v

Passo 3

No corpo escalar, o inverso aditivo de 1 é -1, e vale
alphacdot(-1)= -alpha
Logo
(alphacdot(-1)),vec v = (-alpha),vec v
Mas por definição de oposto de um vetor multiplicado por escalar:
(-alpha),vec v = -,(alpha,vec v)
Assim concluímos
alpha(-vec v)= -(alpha,vec v)

Resposta

alpha(-vec v)= -(alpha,vec v)

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