Mostre as seguintes igualdades:
(-alpha) v=-(alpha v)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial, a multiplicação de um vetor v por um escalar negativo satisfaz
(-alpha),v = -l(alpha,vr)
O conteúdo usado será o de axiomas de espaço vetorial: a existência do inverso aditivo no corpo de escalares e a associatividade da multiplicação escalar.

Passo 2

No corpo de escalares, o inverso aditivo de alpha é exatamente -alpha. Por definição de inverso aditivo no corpo, vale
-alpha = (-1),alpha,
pois (-1) é o elemento cujo somatório com 1 dá zero, e multiplicar escalares preserva a estrutura de grupo aditivo.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de associatividade da multiplicação escalar no espaço vetorial: para quaisquer escalares a,b e vetor v,
(a,b),v=a,(b,v)
Substituindo a=-1 e b=alpha, obtemos
(-alpha),v =l((-1),alphar),v =(-1),l(alpha,vr)

Passo 4

Por definição de inverso aditivo no espaço vetorial, multiplicar qualquer vetor w por -1 produz o oposto aditivo de w, isto é,
(-1),w = -w
Tomando w = alpha,v, segue
(-1),l(alpha,vr) = -l(alpha,vr)

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos
(-alpha),v =(-1),l(alpha,vr) = -l(alpha,vr),
o que é exatamente a igualdade que queríamos mostrar.

Resposta

(-alpha),v = -l(alpha,vr)

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