Mostre as seguintes igualdades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial, a multiplicação de um vetor
por um escalar negativo satisfaz
O conteúdo usado será o de axiomas de espaço vetorial: a existência do inverso aditivo no corpo de escalares e a associatividade da multiplicação escalar.
Passo 2
No corpo de escalares, o inverso aditivo de
é exatamente
. Por definição de inverso aditivo no corpo, vale
pois
é o elemento cujo somatório com
dá zero, e multiplicar escalares preserva a estrutura de grupo aditivo.
Passo 3
Agora usamos a propriedade de associatividade da multiplicação escalar no espaço vetorial: para quaisquer escalares
e vetor
,
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Por definição de inverso aditivo no espaço vetorial, multiplicar qualquer vetor
por
produz o oposto aditivo de
, isto é,
Tomando
, segue
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos
o que é exatamente a igualdade que queríamos mostrar.