Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo x. A posição da partícula em cada instante é dada por x(t)=t^3-7.5 t^2+18 t+3 (t é medido em segundos e x em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante t=0 ? E no instante t=1 s ? E para t infinito? ( R : 3 m ; 14,5 m; x infty)
b) Em que instantes a partícula pára? ( R: 3 s ; 2 s )
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado Longrightarrow acelerado 0 <= t <= 2 s ; 2,5 <= t <= 3,0 s ; acelerado Longrightarrow 2 <= t <= 2,5 s ; t >= 3,0 s.)
d) Calcule a(t). ( R: 6 t-15)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em qualquer instante de tempo é dada pela função . O que essa questão quer que a gente faça é analisar diferentes aspectos desse movimento: descobrir posições específicas, descobrir quando a partícula para, entender se o movimento está acelerando ou retardando, e calcular a aceleração da partícula. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento.

Passo 2

Parte a) Posição da partícula em instantes específicos

Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula em x(0) = 0^3 - 7.5(0)^2 + 18(0) + 3 = 3 , metros segundos, x(1) = 1^3 - 7.5(1)^2 + 18(1) + 3 = 1 - 7.5 + 18 + 3 = 14.5 , metros segundo e para tendendo ao infinito.
Para :
Basta substituir na função :
Para :
Substituindo :
Para tendendo ao infinito ( ):
Observando a função , o termo de maior grau é . Conforme aumenta sem limites, domina e, portanto, tende para .

Passo 3

Parte b) Instantes em que a partícula para

A partícula para quando sua velocidade é zero. A velocidade v(t) = dx(t)dt = 3t^2 - 15t + 18 é a derivada da posição em relação ao tempo:
3t^2 - 15t + 18 = 0
Para encontrar quando a partícula para, igualamos t^2 - 5t + 6 = 0 a zero:
(t - 2)(t - 3) = 0
Dividindo toda a equação por 3:
Fatorando:
Portanto, segundos e segundos.

Passo 4

Parte c) Região de movimento acelerado e retardado

Para analisar se o movimento está acelerado ou retardado, precisamos olhar para a aceleração a(t) = dv(t)dt = 6t - 15 , que é a derivada da velocidade:
6t - 15 = 0 Rightarrow t = 2.5 , segundos
Agora, vamos analisar o sinal de a(t) = 6t - 15 < 0 Rightarrow Retardado :
  • Acelerado: quando a(t) = 6t - 15 > 0 Rightarrow Ace<=rado
  • Retardado: quando 0 <= t <= 2 , segundos e 2.5 <= t <= 3 , segundos
Vamos resolver 2 <= t <= 2.5 , segundos e t >= 3 , segundos :
Então, o comportamento é:
  • Para segundos:
  • Para segundos:
Além disso, considerando os instantes onde a partícula para ( e segundos):
  • Entre e segundos, a aceleração ainda é negativa.
  • Entre e segundos, a aceleração passa a ser positiva.
Portanto, as regiões são:
  • Retardado:
  • Acelerado:

Passo 5

Parte d) Cálculo da aceleração v(t) = dx(t)dt = 3t^2 - 15t + 18

Como já calculamos anteriormente, a aceleração é a derivada da velocidade a(t) = dv(t)dt = 6t - 15 , que por sua vez é a derivada da posição .
Primeiro, encontramos :
Agora, derivamos para obter :

Resposta

a) A posição da partícula em é ; em é ; e para tendendo ao infinito, tende a .
b) A partícula para nos instantes e .
c) O movimento é retardado nas regiões e ; e acelerado nas regiões e .
d) A aceleração da partícula é dada por .

Exercícios relacionados