Mostre que se |x+3|<12, então |4 x+13|<3. (Dica: use desigualdade triangular).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para qualquer real x tal que $ |x+3|<\tfrac12$, vale $ |4x+13|<3$. O conteúdo é desigualdades e vamos usar a desigualdade triangular.

Passo 2

Reescrever 4x+13 de modo a destacar x+3. Note que
4x+13 = 4(x+3) + 1

Passo 3

Aplicar a desigualdade triangular à combinação 4(x+3)+1. Temos
|4x+13| = |4(x+3) + 1| <= |4(x+3)| + |1| = 4|x+3| + 1

Passo 4

Usar a hipótese |x+3|. Então
4|x+3| < 4 cdot tfrac12 = 2
Logo
4|x+3| + 1 < 2 + 1 = 3
Portanto |4x+13|<3, como queríamos mostrar.

Resposta

|4x+13|<3

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