Mostre que a reta normal à esfera
, em cada ponto (
), passa pelo centro da esfera.
Passo 1
O enunciado trata da esfera de equação
e pede para mostrar que, em cada ponto
dessa superfície, a reta normal passa pelo centro da esfera. O conteúdo usado será o fato de que, para uma superfície definida por
, o vetor gradiente
em um ponto é normal à superfície naquele ponto, e podemos usar esse vetor para construir a reta normal.
Passo 2
Definimos a função
cuja superfície
é exatamente a esfera dada. Logo, o vetor
é um vetor normal à esfera em qualquer ponto .
é um vetor normal à esfera em qualquer ponto
Passo 3
Calculamos o gradiente em
:
Esse vetor indica a direção da reta normal à esfera em
.
Passo 4
A equação paramétrica da reta normal em
usando
como direção é
Passo 5
Para mostrar que essa reta passa pelo centro
, basta encontrar
tal que
Isso ocorre se
Passo 6
Com
obtemos
, que é o centro da esfera. Portanto, a reta normal em
efetivamente passa pelo centro.
Resposta
A reta normal à esfera em
passa pelo centro
.