Mostre que a reta normal à esfera x^2+y^2+z^2=r^2, em cada ponto ( x0, y0, z0 ), passa pelo centro da esfera.

Passo 1

O enunciado trata da esfera de equação
x^2+y^2+z^2=r^2
e pede para mostrar que, em cada ponto (x0,y0,z0) dessa superfície, a reta normal passa pelo centro da esfera. O conteúdo usado será o fato de que, para uma superfície definida por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente nabla F em um ponto é normal à superfície naquele ponto, e podemos usar esse vetor para construir a reta normal.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2,
cuja superfície F(x,y,z)=0 é exatamente a esfera dada. Logo, o vetor
nabla F(x,y,z)
é um vetor normal à esfera em qualquer ponto (x,y,z).

Passo 3

Calculamos o gradiente em (x0,y0,z0):
nabla F(x0,y0,z0) =l(2x0,,2y0,,2z0r)
Esse vetor indica a direção da reta normal à esfera em (x0,y0,z0).

Passo 4

A equação paramétrica da reta normal em (x0,y0,z0) usando nabla F como direção é
l(x(t),y(t),z(t)r) =l(x0,y0,z0r) +tl(2x0,2y0,2z0r)

Passo 5

Para mostrar que essa reta passa pelo centro (0,0,0), basta encontrar t tal que
x(t)=0, y(t)=0, z(t)=0
Isso ocorre se
x0+2t,x0=0,; y0+2t,y0=0,; z0+2t,z0=0 Longrightarrow 1+2t=0 Longrightarrow t=-tfrac12

Passo 6

Com t=-tfrac12 obtemos (x,y,z)=(0,0,0), que é o centro da esfera. Portanto, a reta normal em (x0,y0,z0) efetivamente passa pelo centro.

Resposta

A reta normal à esfera em (x0,y0,z0) passa pelo centro (0,0,0).

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