Problema 97 Esboce o gráfico de cada função racional e identifique suas assíntotas.
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço de gráfico da função racional
e a identificação de suas assíntotas. Para resolver, vamos precisar de:
– domínio e assíntotas verticais (zeros do denominador),
– assíntota horizontal (comportamento quando ),
– interceptos com os eixos e estudo de sinal para desenhar cada ramo.
– domínio e assíntotas verticais (zeros do denominador),
– assíntota horizontal (comportamento quando
– interceptos com os eixos e estudo de sinal para desenhar cada ramo.
Passo 2
Determinamos o domínio exigindo que o denominador não zere:
Logo há assíntotas verticais em
Passo 3
Para
temos grau do denominador maior que o do numerador, então
Isso indica uma assíntota horizontal
Passo 4
Não há raiz de
(numerador constante
), então não intercepta o eixo
. O intercepto com o eixo
ocorre em
:
Logo o gráfico passa por
.
Passo 5
Análise de sinal de
: o numerador é sempre positivo e o sinal de
vem do produto
.
– Em ,
, logo
.
– Em ,
, logo
.
– Em
– Em
Comportamento junto às assíntotas verticais:
– Quando ,
, e
,
.
– Quando ,
, e
,
.
– Quando
– Quando
Passo 6
Esboçando temos três ramos:
. Para
,
, o ramo parte de
em
e vai a
em
.
. Em
,
, o ramo sai de
em
, passa em
e volta a
em
.
. Para
,
, sai de
em
e se aproxima de
em
.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
.
Assíntota horizontal: .
Gráfico com três ramos conforme descrito acima.
Assíntota horizontal:
Gráfico com três ramos conforme descrito acima.