Problema 97 Esboce o gráfico de cada função racional e identifique suas assíntotas.
f(x)=3x^2-1;

Passo 1

O enunciado pede o esboço de gráfico da função racional
f(x)=3x^2-1
e a identificação de suas assíntotas. Para resolver, vamos precisar de:
– domínio e assíntotas verticais (zeros do denominador),
– assíntota horizontal (comportamento quando xtopminfty),
– interceptos com os eixos e estudo de sinal para desenhar cada ramo.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o denominador não zere:
x^2-1neq0Longrightarrow xneqpm1
Logo há assíntotas verticais em
x=-1 e x=1

Passo 3

Para xtopminfty temos grau do denominador maior que o do numerador, então
limxtopminftyf(x)=0
Isso indica uma assíntota horizontal
y=0

Passo 4

Não há raiz de f (numerador constante 3neq0), então não intercepta o eixo x. O intercepto com o eixo y ocorre em x=0:
f(0)=30^2-1=3-1=-3
Logo o gráfico passa por (0,-3).

Passo 5

Análise de sinal de f(x)=3(x-1)(x+1): o numerador é sempre positivo e o sinal de f vem do produto (x-1)(x+1).
– Em (-1,1), (x-1)(x+1)<0, logo f(x)<0.
– Em (- infty,-1)cup(1,infty), (x-1)(x+1)>0, logo f(x)>0.
Comportamento junto às assíntotas verticais:
– Quando xto1^-, f(x)to-infty, e xto1^+, f(x)to+infty.
– Quando xto-1^-, f(x)to+infty, e xto-1^+, f(x)to-infty.

Passo 6

Esboçando temos três ramos:
1. Para x< -1, f>0, o ramo parte de y=0^+ em xto-infty e vai a +infty em xto-1^-.
2. Em -1<x<1, f<0, o ramo sai de -infty em xto-1^+, passa em (0,-3) e volta a -infty em xto1^-.
3. Para x>1, f>0, sai de +infty em xto1^+ e se aproxima de y=0^+ em xto+infty.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
Assíntota horizontal: y=0.
Gráfico com três ramos conforme descrito acima.

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