Mostre que:
se |z|=1 então \frac{1}{z}=\bar{z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número complexo z com |z|=1, vale
\frac{1}{z}=\bar z.
Vamos usar a definição de conjugado e a propriedade fundamental
z\,\bar z = |z|^2.

Passo 2

Para ligar \frac{1}{z} à conjugada, multiplica-se numerador e denominador por \bar z:
\frac{1}{z} = \frac{\bar z}{z\,\bar z}.

Passo 3

Como |z|=1, temos
z\,\bar z = |z|^2 = 1.
Logo o denominador da fração acima é 1 e
\frac{1}{z} = \bar z.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{z}=\bar z sempre que |z|=1.

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