Mostre que:
se z \neq 0, \quad\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer número complexo z\neq0, vale
\Bigl|\frac{1}{z}\Bigr| \;=\;\frac{1}{|z|}.
O conteúdo usado será a definição de módulo de número complexo e, em especial, a propriedade multiplicativa do módulo:
|z\,w| = |z|\,|w|.

Passo 2

Como z\neq0, definimos w = z^{-1} = \tfrac1z. Então
z\cdot\frac{1}{z} = 1.
Tomando o módulo em ambos os lados e aplicando |z\,w|=|z|\,|w| e |1|=1, segue
|z|\;\Bigl|\frac{1}{z}\Bigr| = 1 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{1}{z}\Bigr| = \frac{1}{|z|}.

Resposta

\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|},\quad z\neq0.

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