Mostre que, se |z|=1 e z \neq 1, então o número complexo w=\frac{z+1}{z-1} é estritamente um imaginário puro (ou seja, sua parte real é zero).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
Dado z um número complexo tal que |z|=1 e z\neq 1.
Define-se w=\dfrac{z+1}{z-1}.
O que se pede: mostrar que w é estritamente um imaginário puro, ou seja, que a parte real de w é zero.
Passo 2
Verificar uma condição básica para a expressão de w fazer sentido: o denominador não pode ser zero. Como o enunciado diz explicitamente que z\neq 1, então z-1\neq 0 e w está bem definida. (Só aviso prático para a prova: sempre cheque se o denominador pode ser zero.)
Passo 3
Lembrar uma propriedade útil de conjugado e módulo. Para qualquer número complexo z vale
|z|^2 = z\overline{z}.
Como aqui |z|=1, obtemos
1 = |z|^2 = z\overline{z},
logo
\overline{z}=\frac{1}{z}.
Isto é muito prático: quando |z|=1, o conjugado de z é simplesmente o inverso multiplicativo de z.
Passo 4
Outra propriedade que vamos usar é que o conjugado de uma divisão é a divisão dos conjugados (desde que o denominador não seja zero):
Interpretar o que \overline{w}=-w significa para a parte real de w. Em geral, para qualquer número complexo w vale
\operatorname{Re}(w)=\frac{w+\overline{w}}{2}.
Usando \overline{w}=-w dá
\operatorname{Re}(w)=\frac{w+(-w)}{2}=0.
Assim a parte real de w é zero, logo w é um número puramente imaginário.
Passo 7
Comentário opcional (útil para intuição / prova alternativa): escrevendo z=e^{i\theta} com \theta\in\mathbb{R} (já que |z|=1), pode-se também mostrar que