Mostre que, se |z|=1 e z \neq 1, então o número complexo w=\frac{z+1}{z-1} é estritamente um imaginário puro (ou seja, sua parte real é zero).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dado z um número complexo tal que |z|=1 e z\neq 1.
  • Define-se w=\dfrac{z+1}{z-1}.
  • O que se pede: mostrar que w é estritamente um imaginário puro, ou seja, que a parte real de w é zero.

Passo 2

Verificar uma condição básica para a expressão de w fazer sentido: o denominador não pode ser zero. Como o enunciado diz explicitamente que z\neq 1, então z-1\neq 0 e w está bem definida. (Só aviso prático para a prova: sempre cheque se o denominador pode ser zero.)

Passo 3

Lembrar uma propriedade útil de conjugado e módulo. Para qualquer número complexo z vale
|z|^2 = z\overline{z}.
Como aqui |z|=1, obtemos
1 = |z|^2 = z\overline{z},
logo
\overline{z}=\frac{1}{z}.
Isto é muito prático: quando |z|=1, o conjugado de z é simplesmente o inverso multiplicativo de z.

Passo 4

Outra propriedade que vamos usar é que o conjugado de uma divisão é a divisão dos conjugados (desde que o denominador não seja zero):
\overline{\left(\frac{a}{b}\right)}=\frac{\overline{a}}{\overline{b}}\quad\text{se }b\neq 0.
Aplicando isso a w=\dfrac{z+1}{z-1}, obtemos
\overline{w}=\frac{\overline{z}+1}{\overline{z}-1}.
Agora substituímos \overline{z}=\dfrac{1}{z} (resultado do Passo 3):
\overline{w}=\frac{\tfrac{1}{z}+1}{\tfrac{1}{z}-1}.

Passo 5

Simplificar a expressão do Passo 4. Colocando sobre um mesmo denominador z no numerador e denominador:
\overline{w}=\frac{\dfrac{1+z}{z}}{\dfrac{1-z}{z}}=\frac{1+z}{1-z}.
Agora notar que 1-z=-(z-1), então
\overline{w}=\frac{1+z}{1-z}=\frac{z+1}{-(z-1)}=-\frac{z+1}{z-1}=-w.
Portanto encontramos a relação fundamental
\overline{w}=-w.

Passo 6

Interpretar o que \overline{w}=-w significa para a parte real de w. Em geral, para qualquer número complexo w vale
\operatorname{Re}(w)=\frac{w+\overline{w}}{2}.
Usando \overline{w}=-w
\operatorname{Re}(w)=\frac{w+(-w)}{2}=0.
Assim a parte real de w é zero, logo w é um número puramente imaginário.

Passo 7

Comentário opcional (útil para intuição / prova alternativa): escrevendo z=e^{i\theta} com \theta\in\mathbb{R} (já que |z|=1), pode-se também mostrar que
w=\frac{e^{i\theta}+1}{e^{i\theta}-1}=-\,i\cot\!\left(\frac{\theta}{2}\right),
que é explicitamente um número imaginário (multiplicador real pelo i). Esta forma confirma de outro modo que a parte real é zero.

Resposta

\operatorname{Re}(w)=0

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