Encontre as raízes quadradas de
resolvendo o sistema de equações que surge de
. Mostre todo o desenvolvimento algébrico passo a passo, sem utilizar a fórmula de De Moivre.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para encontrar todas as raízes quadradas de
resolvendo o sistema que aparece ao impor
onde
e
são números reais.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O número cujo quadrado buscamos é
. - Queremos todos os complexos da forma
(com ) tais que . - Não usar a fórmula de De Moivre; resolver por desenvolvimento algébrico do quadrado e sistema resultante.
Passo 2
Primeiro vamos desenvolver o quadrado de um número complexo geral
. Lembrete prático: para números complexos usa-se as mesmas regras da álgebra com
. Assim,
Como
, obtemos a fórmula padrão
Aqui
é a parte real e
é o coeficiente da parte imaginária.
Passo 3
Agora igualamos o desenvolvimento ao número dado
. Como partes reais e imaginárias de números complexos iguais também são iguais, obtemos o sistema
Explicando: a primeira equação vem da igualdade das partes reais, a segunda da igualdade dos coeficientes da parte imaginária.]
Passo 4
Da segunda equação podemos isolar
em função de
(assumindo
; trataremos o caso
depois). Dividindo por
temos
Logo, se
,
Passo 5
Substituímos
na primeira equação
. Calculando
obtemos
Substituindo na primeira equação:
Para eliminar o denominador, multiplicamos ambos os lados por
(isto é válido porque estamos no caso
):
Rearranjando,
Passo 6
O polinômio em
é biquadrático; fazemos a substituição
(com
porque
é não-negativo). Assim obtemos a equação quadrática
Vamos resolver essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Como
,
. As raízes para
são
Isso dá duas possibilidades:
Passo 7
Recordando que
deve ser
, descartamos
(impossível para
real). Portanto
Logo
Passo 8
Para cada valor de
calculamos
usando
.
- Se
, então
- Se
, então
Assim obtemos os dois candidatos para as raízes quadradas:
Passo 9
É bom sempre verificar ao final que os candidatos realmente funcionam (vai ajudar na prova se fizer sempre a checagem). Calculando o quadrado de
:
Portanto
. Como
, o quadrado de
é o mesmo (porque
), logo também dá
. Então ambos são raízes válidas.
Passo 10
Observação conceitual curta e útil para a prova: raízes quadradas de um número complexo não nulo sempre aparecem em pares opostos (se
é raiz, então
também é), e aqui os dois resultados são exatamente opostos entre si.