Encontre as raízes quadradas de z=5-12 i resolvendo o sistema de equações que surge de (x+y i)^{2}=5-12 i. Mostre todo o desenvolvimento algébrico passo a passo, sem utilizar a fórmula de De Moivre.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z=5-12i\, e pede para encontrar todas as raízes quadradas de z resolvendo o sistema que aparece ao impor
(x+yi)^{2}=5-12i,
onde x e y são números reais.
Informações relevantes fornecidas:
  • O número cujo quadrado buscamos é \,z=5-12i.
  • Queremos todos os complexos da forma \,x+yi\, (com x,y\in\mathbb{R}) tais que (x+yi)^{2}=z.
  • Não usar a fórmula de De Moivre; resolver por desenvolvimento algébrico do quadrado e sistema resultante.

Passo 2

Primeiro vamos desenvolver o quadrado de um número complexo geral (x+yi). Lembrete prático: para números complexos usa-se as mesmas regras da álgebra com i^{2}=-1. Assim,
(x+yi)^{2} = x^{2} + 2xy\,i + (yi)^{2}.
Como (yi)^{2}=y^{2}i^{2}=y^{2}(-1)=-y^{2}, obtemos a fórmula padrão
(x+yi)^{2} = x^{2}-y^{2} + 2xy\,i.
Aqui x^{2}-y^{2} é a parte real e 2xy é o coeficiente da parte imaginária.

Passo 3

Agora igualamos o desenvolvimento ao número dado \,5-12i. Como partes reais e imaginárias de números complexos iguais também são iguais, obtemos o sistema
\begin{cases} x^{2}-y^{2}=5,\\[4pt] 2xy=-12. \end{cases}
Explicando: a primeira equação vem da igualdade das partes reais, a segunda da igualdade dos coeficientes da parte imaginária.]

Passo 4

Da segunda equação podemos isolar y em função de x (assumindo x\neq0; trataremos o caso x=0 depois). Dividindo por 2 temos
xy=-6.
Logo, se x\neq0,
y=\frac{-6}{x}.

Passo 5

Substituímos y=\dfrac{-6}{x} na primeira equação x^{2}-y^{2}=5. Calculando y^{2} obtemos
y^{2}=\left(\frac{-6}{x}\right)^{2}=\frac{36}{x^{2}}.
Substituindo na primeira equação:
x^{2}-\frac{36}{x^{2}}=5.
Para eliminar o denominador, multiplicamos ambos os lados por x^{2} (isto é válido porque estamos no caso x\neq0):
x^{4}-36=5x^{2}.
Rearranjando,
x^{4}-5x^{2}-36=0.

Passo 6

O polinômio em x é biquadrático; fazemos a substituição u=x^{2} (com u\ge0 porque x^{2} é não-negativo). Assim obtemos a equação quadrática
u^{2}-5u-36=0.
Vamos resolver essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot(-36)=25+144=169.
Como \Delta=169, \sqrt{\Delta}=13. As raízes para u são
u=\frac{5\pm 13}{2}.
Isso dá duas possibilidades:
u=\frac{5+13}{2}=\frac{18}{2}=9, \qquad u=\frac{5-13}{2}=\frac{-8}{2}=-4.

Passo 7

Recordando que u=x^{2} deve ser \ge0, descartamos u=-4 (impossível para x real). Portanto
x^{2}=9.
Logo
x=\pm 3.

Passo 8

Para cada valor de x calculamos y usando y=-6/x.
  • Se x=3, então
y=-\frac{6}{3}=-2.
  • Se x=-3, então
y=-\frac{6}{-3}=2.
Assim obtemos os dois candidatos para as raízes quadradas:
x+yi = 3-2i \quad\text{e}\quad x+yi = -3+2i.

Passo 9

É bom sempre verificar ao final que os candidatos realmente funcionam (vai ajudar na prova se fizer sempre a checagem). Calculando o quadrado de \,3-2i:
(3-2i)^{2}=3^{2}-2^{2}+2\cdot3\cdot(-2)\,i=9-4-12i=5-12i.
Portanto (3-2i)^{2}=5-12i. Como (-3+2i)=-\,(3-2i), o quadrado de -3+2i é o mesmo (porque (-w)^{2}=w^{2}), logo também dá 5-12i. Então ambos são raízes válidas.

Passo 10

Observação conceitual curta e útil para a prova: raízes quadradas de um número complexo não nulo sempre aparecem em pares opostos (se w é raiz, então -w também é), e aqui os dois resultados são exatamente opostos entre si.

Resposta

3-2i
-3+2i

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