Se z=\cos \theta+i \sin \theta, utilize a Fórmula de De Moivre para demonstrar algébrica e trigonometricamente que z^{n}+\frac{1}{z^{n}}=2 \cos (n \theta) e z^{n}-\frac{1}{z^{n}}=2 i \sin (n \theta).
Passo 1
O enunciado dá que z=\cos\theta+i\sin\theta. A tarefa é demonstrar, usando a Fórmula de De Moivre, as igualdades
z^{n}+\frac{1}{z^{n}}=2\cos(n\theta)
e
z^{n}-\frac{1}{z^{n}}=2i\sin(n\theta).
Aqui vou assumir que n é um inteiro (positivo ou negativo); a Fórmula de De Moivre vale de forma direta para n\in\mathbb{Z}. Vou listar também as informações úteis que temos do enunciado:
z=\cos\theta+i\sin\theta (número complexo escrito em forma trigonométrica).
Precisamos manipular potências z^{n} e a recíproca 1/z^{n}.
A partir daqui começo a resolução passo a passo, explicando cada ideia com calma.
Passo 2
Mostro primeiro uma propriedade simples e muito útil: o módulo de z é 1. Calculo
|z|^{2}=(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}.
Pela identidade trigonométrica fundamental temos (\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}=1. Logo
|z|^{2}=1\quad\Rightarrow\quad |z|=1.
Explicação curta: isso significa que z está sobre o círculo unitário no plano complexo — importante porque facilita a expressão do inverso 1/z.
Passo 3
Usando a relação geral para o inverso de um número complexo w\neq0,
\frac{1}{w}=\frac{\overline{w}}{|w|^{2}},
onde \overline{w} é o conjugado de w, aplico isso ao nosso z. Como já mostramos que |z|^{2}=1, obtemos
\frac{1}{z}=\overline{z}.
O conjugado de z troca o sinal da parte imaginária, então
\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta.
Portanto
\frac{1}{z}=\cos\theta-i\sin\theta.
Observação: essa igualdade é válida porque z tem módulo 1; em geral teria o fator |z|^{-2}.
Passo 4
Aplico agora a Fórmula de De Moivre para potências inteiras positivas: para z=\cos\theta+i\sin\theta vale
o que fecha a indução. Assim a Fórmula de De Moivre está demonstrada para n inteiro positivo. Para n inteiro negativo usa-se z^{-n}=(z^{n})^{-1} e a propriedade do inverso já explicada (como |z|=1, o inverso é o conjugado), e a fórmula continua válida.
A expressão para 1/z^{n} veio da propriedade \dfrac{1}{z^{n}}=\big(\dfrac{1}{z}\big)^{n}=\overline{z}^{\,n} e do fato \overline{z^{n}}=\overline{z}^{\,n}.
Passo 5
Agora calculo a soma pedido usando as expressões encontradas. Substituo:
Subtraindo termo a termo, as partes reais se cancelam e as partes imaginárias se somam:
z^{n}-\frac{1}{z^{n}}=2i\sin(n\theta).
Observação: a diferença entre um complexo e seu conjugado é 2i vezes a parte imaginária.
Passo 7
Resumo rápido (uma forma alternativa e curta, caso queira decorar): escrevendo z como z=e^{i\theta} (fórmula de Euler), tem-se z^{n}=e^{in\theta} e 1/z^{n}=e^{-in\theta}. Então