Se z=\cos \theta+i \sin \theta, utilize a Fórmula de De Moivre para demonstrar algébrica e trigonometricamente que z^{n}+\frac{1}{z^{n}}=2 \cos (n \theta) e z^{n}-\frac{1}{z^{n}}=2 i \sin (n \theta).

Passo 1

O enunciado dá que z=\cos\theta+i\sin\theta. A tarefa é demonstrar, usando a Fórmula de De Moivre, as igualdades
z^{n}+\frac{1}{z^{n}}=2\cos(n\theta)
e
z^{n}-\frac{1}{z^{n}}=2i\sin(n\theta).
Aqui vou assumir que n é um inteiro (positivo ou negativo); a Fórmula de De Moivre vale de forma direta para n\in\mathbb{Z}. Vou listar também as informações úteis que temos do enunciado:
  • z=\cos\theta+i\sin\theta (número complexo escrito em forma trigonométrica).
  • Precisamos manipular potências z^{n} e a recíproca 1/z^{n}.
A partir daqui começo a resolução passo a passo, explicando cada ideia com calma.

Passo 2

Mostro primeiro uma propriedade simples e muito útil: o módulo de z é 1. Calculo
|z|^{2}=(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}.
Pela identidade trigonométrica fundamental temos (\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}=1. Logo
|z|^{2}=1\quad\Rightarrow\quad |z|=1.
Explicação curta: isso significa que z está sobre o círculo unitário no plano complexo — importante porque facilita a expressão do inverso 1/z.

Passo 3

Usando a relação geral para o inverso de um número complexo w\neq0,
\frac{1}{w}=\frac{\overline{w}}{|w|^{2}},
onde \overline{w} é o conjugado de w, aplico isso ao nosso z. Como já mostramos que |z|^{2}=1, obtemos
\frac{1}{z}=\overline{z}.
O conjugado de z troca o sinal da parte imaginária, então
\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta.
Portanto
\frac{1}{z}=\cos\theta-i\sin\theta.
Observação: essa igualdade é válida porque z tem módulo 1; em geral teria o fator |z|^{-2}.

Passo 4

Aplico agora a Fórmula de De Moivre para potências inteiras positivas: para z=\cos\theta+i\sin\theta vale
z^{n}=(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).
Vou justificar essa fórmula de forma elementar (indução com a regra de multiplicação de complexos em forma trigonométrica).
  1. Base n=1 é óbvia: z^{1}=\cos\theta+i\sin\theta.
  2. Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha z^{k}=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta). Multiplicando por z=\cos\theta+i\sin\theta,
z^{k+1}=z^{k}\cdot z=(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta))(\cos\theta+i\sin\theta).
Faço a expansão (distributiva):
z^{k+1}=\cos(k\theta)\cos\theta - \sin(k\theta)\sin\theta + i\big(\sin(k\theta)\cos\theta + \cos(k\theta)\sin\theta\big).
Mas as expressões entre parênteses são exatamente as fórmulas de soma de ângulos:
\cos(k\theta+\theta)=\cos(k\theta)\cos\theta - \sin(k\theta)\sin\theta,
\sin(k\theta+\theta)=\sin(k\theta)\cos\theta + \cos(k\theta)\sin\theta.
Portanto
z^{k+1}=\cos((k+1)\theta)+i\sin((k+1)\theta),
o que fecha a indução. Assim a Fórmula de De Moivre está demonstrada para n inteiro positivo. Para n inteiro negativo usa-se z^{-n}=(z^{n})^{-1} e a propriedade do inverso já explicada (como |z|=1, o inverso é o conjugado), e a fórmula continua válida.
Conclusão útil que usarei a seguir:
z^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta), \qquad \frac{1}{z^{n}}=\cos(n\theta)-i\sin(n\theta).
A expressão para 1/z^{n} veio da propriedade \dfrac{1}{z^{n}}=\big(\dfrac{1}{z}\big)^{n}=\overline{z}^{\,n} e do fato \overline{z^{n}}=\overline{z}^{\,n}.

Passo 5

Agora calculo a soma pedido usando as expressões encontradas. Substituo:
z^{n}+\frac{1}{z^{n}}=\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big)+\big(\cos(n\theta)-i\sin(n\theta)\big).
Somando termo a termo, as partes imaginárias se cancelam e as partes reais somam:
z^{n}+\frac{1}{z^{n}}=2\cos(n\theta).
Interpretação simples: a soma de um número complexo e seu conjugado é duas vezes a parte real.

Passo 6

Faço agora a diferença:
z^{n}-\frac{1}{z^{n}}=\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big)-\big(\cos(n\theta)-i\sin(n\theta)\big).
Subtraindo termo a termo, as partes reais se cancelam e as partes imaginárias se somam:
z^{n}-\frac{1}{z^{n}}=2i\sin(n\theta).
Observação: a diferença entre um complexo e seu conjugado é 2i vezes a parte imaginária.

Passo 7

Resumo rápido (uma forma alternativa e curta, caso queira decorar): escrevendo z como z=e^{i\theta} (fórmula de Euler), tem-se z^{n}=e^{in\theta} e 1/z^{n}=e^{-in\theta}. Então
e^{in\theta}+e^{-in\theta}=2\cos(n\theta), \qquad e^{in\theta}-e^{-in\theta}=2i\sin(n\theta),
que são exatamente as mesmas identidades já obtidas acima. Isso conecta bem a parte algébrica com a trigonométrica.

Resposta

z^{n}+\dfrac{1}{z^{n}}=2\cos(n\theta)
z^{n}-\dfrac{1}{z^{n}}=2i\sin(n\theta)

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