Mostre que:
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \Rightarrow \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD},
então vale \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.
O conteúdo a usar são as propriedades de soma de vetores: associatividade e comutatividade.

Passo 2

Vamos expressar \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{BD} em termos de vetores “adjacentes”. Em qualquer poligonal, vale a relação de Chasles:
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC},
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}.

Passo 3

Como temos a hipótese \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, substituímos na expressão de \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}.
Pelo mesmo motivo, da expressão de \overrightarrow{BD} temos
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}.
Pela comutatividade da soma vetorial, \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}. Logo \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}\Rightarrow\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}.

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