(Desafio) Demonstre o teorema: Seja
, uma aplicação linear. Então
, se e somente se
é injetora.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma aplicação linear
, temos
se, e somente se,
é injetora.
Conteúdo: definições de núcleo (kernel) de uma aplicação linear e de injetividade. Usaremos a propriedade linear de e o fato de que
Conteúdo: definições de núcleo (kernel) de uma aplicação linear e de injetividade. Usaremos a propriedade linear de
e que
é injetora quando
implica
.
Passo 2
Definições principais que vamos usar:
— Núcleo:
— Injetividade: é injetora se, sempre que
, então necessariamente
.
— Núcleo:
— Injetividade:
Passo 3
Prova de “
é injetora”.
Suponha . Para mostrar que
é injetora, considere
tais que
Suponha
Pela linearidade de
,
logo
. Como
, segue
, ou seja,
. Portanto
é injetora.
Passo 4
Prova de “
é injetora
”.
Suponha injetora. Tome
. Então
Suponha
Como
é injetora,
. Assim o único vetor em
é
, ou seja,
.
Resposta
Demonstração concluída: mostramos as duas implicações e, portanto,
se e somente se
é injetora.