(Desafio) Demonstre o teorema: Seja T: V \rightarrow W, uma aplicação linear. Então \operatorname{ker}(T)=\{\overrightarrow{0}\}, se e somente se T é injetora.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma aplicação linear T:V\to W, temos \ker(T)=\{\vec 0\} se, e somente se, T é injetora.
Conteúdo: definições de núcleo (kernel) de uma aplicação linear e de injetividade. Usaremos a propriedade linear de T e o fato de que
\ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=\vec0\}
e que T é injetora quando T(v_1)=T(v_2) implica v_1=v_2.

Passo 2

Definições principais que vamos usar:
— Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=\vec0\}.
— Injetividade: T é injetora se, sempre que T(v_1)=T(v_2), então necessariamente v_1=v_2.

Passo 3

Prova de “ \ker(T)=\{\vec0\} \implies T é injetora”.
Suponha \ker(T)=\{\vec0\}. Para mostrar que T é injetora, considere v_1,v_2\in V tais que
T(v_1)=T(v_2).
Pela linearidade de T,
T(v_1-v_2)=T(v_1)-T(v_2)=\vec0,
logo v_1-v_2\in\ker(T). Como \ker(T)=\{\vec0\}, segue v_1-v_2=\vec0, ou seja, v_1=v_2. Portanto T é injetora.

Passo 4

Prova de “ T é injetora \implies \ker(T)=\{\vec0\}”.
Suponha T injetora. Tome v\in\ker(T). Então
T(v)=\vec0=T(\vec0).
Como T é injetora, v=\vec0. Assim o único vetor em \ker(T) é \vec0, ou seja, \ker(T)=\{\vec0\}.

Resposta

Demonstração concluída: mostramos as duas implicações e, portanto, \ker(T)=\{\vec0\} se e somente se T é injetora.

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