Prove que:
\|\overrightarrow{-u}\|=\|\vec{u}\|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial com norma, a norma de um vetor e a norma do seu oposto são iguais. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de homogeneidade absoluta da norma, que diz como a norma se comporta sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Pela definição de norma em espaços vetoriais, para todo vetor \vec{u} e todo escalar \alpha vale
\|\alpha\,\vec{u}\| = |\alpha|\,\|\vec{u}\|.

Passo 3

Basta escolher \alpha=-1. Nesse caso temos
\|{-1}\cdot\vec{u}\| = |{-1}|\,\|\vec{u}\| = 1\cdot\|\vec{u}\| = \|\vec{u}\|.
Como {-1}\cdot\vec{u} = -\vec{u}, concluímos que
\|-\vec{u}\| = \|\vec{u}\|.

Resposta

\|-\vec{u}\| = \|\vec{u}\|.

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