Para as transformações lineares a seguir, determine o núcleo, a imagem e a matriz associada a transformação. Classifique a transformação (injetora, sobrejetora ou isomorfismo) usando os teoremas e corolários vistos em sala
Passo 1
O enunciado pede, para a transformação linear
que a gente determine o núcleo
, a imagem
, a matriz associada (na base canônica) e classifique
em injetora, sobrejetora ou isomorfismo. Para isso vamos usar a definição de matriz de transformação linear, resolver sistemas lineares para achar o núcleo e empregar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) para a classificação.
Passo 2
Para achar a matriz de
na base canônica, aplicamos
aos vetores
e
:
Logo, a matriz de
é
Passo 3
Para o núcleo, resolvemos
Da primeira equação
. Assim
Passo 4
A imagem de
é o espaço gerado pelas colunas de
, isto é,
Como esses dois vetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro),
. Como o contradomínio também tem dimensão 2, segue que
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem),
Aqui
e
. Como
é trivial,
é injetora. Como
,
é sobrejetora. Logo
é um isomorfismo de
em si.
Resposta
A matriz associada (na base canônica) é
e
é um isomorfismo (injetora e sobrejetora).]