Para as transformações lineares a seguir, determine o núcleo, a imagem e a matriz associada a transformação. Classifique a transformação (injetora, sobrejetora ou isomorfismo) usando os teoremas e corolários vistos em sala
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(x-2 y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede, para a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (x - 2y,\;x + y),
que a gente determine o núcleo \ker T, a imagem \Im T, a matriz associada (na base canônica) e classifique T em injetora, sobrejetora ou isomorfismo. Para isso vamos usar a definição de matriz de transformação linear, resolver sistemas lineares para achar o núcleo e empregar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) para a classificação.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica, aplicamos T aos vetores (1,0) e (0,1):
T(1,0) = (1-2\cdot0,\;1+0) = (1,1), \quad T(0,1) = (0-2\cdot1,\;0+1) = (-2,1).
Logo, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\[6pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para o núcleo, resolvemos T(x,y) = (0,0)\), isto é, \[\begin{cases} x - 2y = 0,\\\ x + y = 0. \end{cases}
Da primeira equação x = 2y\]. Substituindo na segunda: \[2y + y = 0 \;\Longrightarrow\; 3y = 0 \;\Longrightarrow\; y = 0,\] portanto \(x = 0. Assim
\ker T = \{(0,0)\}.

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, isto é,
\Im T = \mathrm{span}\{(1,1),\,(-2,1)\}.
Como esses dois vetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), \dim(\Im T)=2. Como o contradomínio também tem dimensão 2, segue que
\Im T = \mathbb{R}^2.

Passo 5

Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem),
\dim(\ker T) + \dim(\Im T) = \dim(\mathbb{R}^2) = 2.
Aqui \dim(\ker T)=0 e \dim(\Im T)=2. Como \ker T é trivial, T é injetora. Como \Im T = \mathbb{R}^2, T é sobrejetora. Logo T é um isomorfismo de \mathbb{R}^2 em si.

Resposta

A matriz associada (na base canônica) é
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}, \displaystyle \ker T = \{(0,0)\}, \displaystyle \Im T = \mathbb{R}^2,
e T é um isomorfismo (injetora e sobrejetora).]

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