Suponha que uma urna contenha 8 bolas vermelhas e 4 bolas brancas. Nós escolhemos duas bolas sem reposição.
Suponha agora que cada bola tenha um peso diferente, com cada bola vermelha com peso r e cada bola branca com peso w. Suponha ainda que a probabilidade de selecionar a próxima bola seja igual ao seu peso dividido pelo peso de
todas as bolas na urna. Qual é a probabilidade de que ambas as bolas selecionadas sejam vermelhas? (Resp: 8 r8 r+4 w 7 r7 r+4 w )

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: numa urna tem 8 bolas vermelhas (cada uma com peso P(Acap B) = P(A),P(Bmid A) ) e 4 bolas brancas (cada uma com peso ). A gente vai tirar duas bolas sem repor. A diferença aqui é que a chance de tirar cada bola não é igual, e sim proporcional ao peso dela sobre o peso total das que restam na urna. Queremos a probabilidade de que as duas bolas sejam vermelhas.
Conteúdo da matéria: probabilidade condicional e regra do produto de probabilidades.
O que precisamos:
  • Entender como calcular probabilidades com pesos.
  • Usar a definição de probabilidade condicional:

Passo 2

Calcular a probabilidade de a primeira bola ser vermelha.
Como cada bola vermelha pesa 8r + 4w e são 8 delas, o peso total das vermelhas é P(1ª é vermelha) = peso das vermelhaspeso total = 8r8r + 4w . O peso total de todas as 12 bolas é
Então, usando probabilidade ponderada:
ªé

Passo 3

Calcular a probabilidade de a segunda bola ser vermelha, dado que a primeira já saiu e foi vermelha.
Depois de tirar uma vermelha, sobram 7 vermelhas (peso total 7r + 4w ) e continuam 4 brancas (peso P(2ª é vermelha mid 1ª foi vermelha) = 7r7r + 4w ), totalizando
de peso. Logo,
ªéª

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto para achar a probabilidade de ambas serem vermelhas:
P(1ª e 2ª vermelhas) = P(1ª vermelha) times P(2ª vermelha mid 1ª vermelha) ªªªªª

Resposta

P(duas vermelhas) = 8r8r + 4w ;times; 7r7r + 4w

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