Mostre que os eventos
e
são disjuntos, se e somente se
.
Passo 1
Enunciado: Mostrar que os eventos
e
são disjuntos se, e somente se,
.
Informações dadas:
- Temos dois eventos (conjuntos)
e . - A notação
significa o conjunto diferença, isto é, .
O que é pedido:
- Provar a equivalência lógica:
e são disjuntos . - Em outras palavras, precisamos provar duas implicações:
- Se
e são disjuntos então . - Se
então e são disjuntos.
- Se
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Definição de disjuntos:
e são disjuntos significa que eles não têm elemento em comum, isto é,
Aqui
é o conjunto vazio (nenhum elemento).
- Definição de diferença de conjuntos: por definição
- Técnica padrão para provar igualdades entre conjuntos: mostrar duas inclusões mútuas. Ou seja, para provar
costuma-se mostrar e . - Lembrete prático: sempre que eu mostrar que todo elemento de um lado está no outro, uso a definição de pertencer aos conjuntos envolvidos.
Passo 3
Prova da implicação direta: assumir que
e
são disjuntos e mostrar que
.
Começo mostrando as duas inclusões necessárias.
(i) Primeiro,
.
Justificativa: por definição de diferença, todo elemento de
é um elemento de
(além de não estar em
). Formalmente, se
então, por definição,
e
. Assim
. Isso prova
. Esta inclusão vale sempre, independentemente de disjunção.
(ii) Agora mostro
usando a hipótese de disjunção.
Hipótese:
. Pegue um elemento qualquer
. Como
, não existe elemento em comum, logo
. Portanto
e
, isto é,
. Como a escolha de
foi arbitrária, concluímos
.
Com as duas inclusões (i) e (ii) temos
. Assim a direção direta está provada.
Passo 4
Prova da implicação recíproca: assumir que
e mostrar que
e
são disjuntos (ou seja,
).
Argumento por contradição simples (ou diretamente por definição):
Suponha, para obter contradição, que
. Então existe algum
tal que
. Isso significa
e
. Mas se
então, pela definição de diferença,
. Logo
mas
, o que contradiz a hipótese
(pois a igualdade exige que todo elemento de
esteja em
). Portanto não pode existir tal
, logo
. Isso mostra que
e
são disjuntos.
Uma forma direta (sem contradição) é observar que
implica em particular
. Assim, se
então
, o que força
. Assim nenhum elemento de
pertence a
, e portanto
.
Passo 5
Exemplos para fixar a ideia (rápido e prático):
- Exemplo 1 (disjuntos):
, . Então . Aqui . - Exemplo 2 (não disjuntos):
, . Então . Aqui .
Esses exemplos mostram concretamente porque a igualdade
captura exatamente a ideia de "nenhum elemento de
está em
".
Passo 6
Resumo do raciocínio e conclusão pedagógica:
- Mostramos que se
então todo não está em , logo , e por inclusão trivial ; assim . - Reciprocamente, se
então nenhum elemento de pode estar em (caso contrário contradizeríamos a igualdade), então . - As duas direções fecham a equivalência pedida.
Força aí nos estudos — essa é daquelas propriedades de conjuntos que caem fácil nas provas quando você lembra de provar as duas inclusões e usar a definição de diferença.
Resposta
Os eventos
e
são disjuntos se, e somente se,
.