Mostre que os eventos A e B são disjuntos, se e somente se A-B=A.

Passo 1

Enunciado: Mostrar que os eventos A e B são disjuntos se, e somente se, A-B=A.
Informações dadas:
  • Temos dois eventos (conjuntos) A e B.
  • A notação A-B significa o conjunto diferença, isto é, A-B=\{x \mid x\in A\\ \text{e}\\ x\notin B\}.
O que é pedido:
  • Provar a equivalência lógica: A e B são disjuntos \Longleftrightarrow A-B=A.
  • Em outras palavras, precisamos provar duas implicações:
    1. Se A e B são disjuntos então A-B=A.
    2. Se A-B=A então A e B são disjuntos.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Definição de disjuntos: A e B são disjuntos significa que eles não têm elemento em comum, isto é,
A\cap B=\emptyset.
Aqui \emptyset é o conjunto vazio (nenhum elemento).
  • Definição de diferença de conjuntos: por definição
A-B=\{x\mid x\in A\\ \text{e}\\ x\notin B\}.
  • Técnica padrão para provar igualdades entre conjuntos: mostrar duas inclusões mútuas. Ou seja, para provar X=Y costuma-se mostrar X\subseteq Y e Y\subseteq X.
  • Lembrete prático: sempre que eu mostrar que todo elemento de um lado está no outro, uso a definição de pertencer aos conjuntos envolvidos.

Passo 3

Prova da implicação direta: assumir que A e B são disjuntos e mostrar que A-B=A.
Começo mostrando as duas inclusões necessárias.
(i) Primeiro, A-B\subseteq A.
Justificativa: por definição de diferença, todo elemento de A-B é um elemento de A (além de não estar em B). Formalmente, se x\in A-B então, por definição, x\in A e x\notin B. Assim x\in A. Isso prova A-B\subseteq A. Esta inclusão vale sempre, independentemente de disjunção.
(ii) Agora mostro A\subseteq A-B usando a hipótese de disjunção.
Hipótese: A\cap B=\emptyset. Pegue um elemento qualquer x\in A. Como A\cap B=\emptyset, não existe elemento em comum, logo x\notin B. Portanto x\in A e x\notin B, isto é, x\in A-B. Como a escolha de x\in A foi arbitrária, concluímos A\subseteq A-B.
Com as duas inclusões (i) e (ii) temos A-B=A. Assim a direção direta está provada.

Passo 4

Prova da implicação recíproca: assumir que A-B=A e mostrar que A e B são disjuntos (ou seja, A\cap B=\emptyset).
Argumento por contradição simples (ou diretamente por definição):
Suponha, para obter contradição, que A\cap B\neq\emptyset. Então existe algum x tal que x\in A\cap B. Isso significa x\in A e x\in B. Mas se x\in B então, pela definição de diferença, x\notin A-B. Logo x\in A mas x\notin A-B, o que contradiz a hipótese A-B=A (pois a igualdade exige que todo elemento de A esteja em A-B). Portanto não pode existir tal x, logo A\cap B=\emptyset. Isso mostra que A e B são disjuntos.
Uma forma direta (sem contradição) é observar que A-B=A implica em particular A\subseteq A-B. Assim, se x\in A então x\in A-B, o que força x\notin B. Assim nenhum elemento de A pertence a B, e portanto A\cap B=\emptyset.

Passo 5

Exemplos para fixar a ideia (rápido e prático):
  • Exemplo 1 (disjuntos): A=\{1,2\}, B=\{3\}. Então A-B=\{1,2\}=A. Aqui A\cap B=\emptyset.
  • Exemplo 2 (não disjuntos): A=\{1,2\}, B=\{2,3\}. Então A-B=\{1\}\neq A. Aqui A\cap B=\{2\}\neq\emptyset.
Esses exemplos mostram concretamente porque a igualdade A-B=A captura exatamente a ideia de "nenhum elemento de A está em B".

Passo 6

Resumo do raciocínio e conclusão pedagógica:
  • Mostramos que se A\cap B=\emptyset então todo x\in A não está em B, logo x\in A-B, e por inclusão trivial A-B\subseteq A; assim A-B=A.
  • Reciprocamente, se A-B=A então nenhum elemento de A pode estar em B (caso contrário contradizeríamos a igualdade), então A\cap B=\emptyset.
  • As duas direções fecham a equivalência pedida.
Força aí nos estudos — essa é daquelas propriedades de conjuntos que caem fácil nas provas quando você lembra de provar as duas inclusões e usar a definição de diferença.

Resposta

Os eventos A e B são disjuntos se, e somente se, A-B=A.

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