Seja a um inteiro, a \neq 0,1,-1. Mostre que se para quaisquer inteiros b, c,
a \mid b c \text { implica em } a \mid b \text { ou } a \mid c
então a é primo.

Passo 1

O enunciado dá que a é um inteiro com a\neq 0,1,-1 e que a seguinte propriedade vale para quaisquer inteiros b,c:
a \mid b c \text{ implica em } a \mid b \text{ ou } a \mid c.
A tarefa é mostrar que a é primo.
Informações relevantes: a é inteiro e diferente de 0,1,-1; a propriedade de divisibilidade acima vale para todos os inteiros b,c. O que se pede: provar que a é primo (ou seja, que não é composto).

Passo 2

Vamos lembrar e explicar cuidadosamente o que significam as palavras que vamos usar.
Definição de divisibilidade: dizer que x divide y (escrevemos x\mid y) significa que existe um inteiro k tal que
y = xk.
Isto nos dá uma consequência útil: se x\mid y então \lvert y\rvert = \lvert x\rvert\cdot\lvert k\rvert, e portanto, se y\neq 0 temos \lvert x\rvert \le \lvert y\rvert.
Definição de primo e composto: um inteiro n com \lvert n\rvert>1 é primo se seus únicos divisores inteiros são \pm1 e \pm n. Se \lvert n\rvert>1 e existe um divisor inteiro d com 1<\lvert d\rvert<\lvert n\rvert, dizemos que n é composto (ou não-primo). Observação: o enunciado já excluiu 0,1,-1, então a única alternativa a “primo” é ser composto.

Passo 3

Estratégia do argumento (explicada como um amigo que te guia): vou provar a afirmação usando o contrarrecíproco (contraposição). Ou seja, vou provar que se a não for primo (isto é, se a for composto), então a propriedade dada falha. Isso é suficiente porque a negação do enunciado “se P então Q” é “se não Q então não P”; então mostrar que composto implica falha da propriedade dá que, se a propriedade é verdadeira, a não pode ser composto — portanto é primo.

Passo 4

Suponha que a não seja primo. Como a\neq 0,1,-1, isso significa que a é composto: existe uma fatoração não-trivial de \lvert a\rvert. Ou seja, existem inteiros positivos r e s tais que
1< r< \lvert a\rvert,\qquad 1<s< \lvert a\rvert,
e
r s = \lvert a\rvert.
(Estou escolhendo r,s>0 divisores de \lvert a\rvert.)

Passo 5

Agora vou construir um contraexemplo à propriedade dada usando b=r e c=s. Calculemos b c:
b c = r s = \lvert a\rvert.
Mostremos que a\mid b c. Se a>0 então \lvert a\rvert=a e b c=a, logo a\mid b c. Se a<0 então \lvert a\rvert=-a e b c=-a, então a\mid b c também (porque b c = a\cdot(-1)). Em resumo, em ambos os casos temos a\mid b c.

Passo 6

Mostremos que simultaneamente a\nmid b e a\nmid c. Suponha, para obter contradição, que a\mid b. Então existe inteiro k tal que b=a k. Tomando valores absolutos:
\lvert b\rvert = \lvert a\rvert\cdot\lvert k\rvert.
Se k=0 então b=0, mas por construção b=r satisfaz 1<r, então k\neq 0. Logo \lvert k\rvert\ge 1 e assim \lvert b\rvert \ge \lvert a\rvert. Mas isto contradiz a escolha de b=r com 1<r<\lvert a\rvert. Portanto não pode acontecer a\mid b. A mesma argumentação (trocando b por c) mostra que a\nmid c.

Passo 7

Concluímos que, no caso em que a é composto, existem inteiros b,c (escolhidos como os fatores não-triviais r,s de \lvert a\rvert) tais que a\mid b c mas nem a\mid b nem a\mid c. Logo a propriedade dada falha.

Passo 8

Pelo argumento por contraposição: se a propriedade dada vale para todos os inteiros b,c, então não pode ocorrer o caso " a é composto". Como já excluímos a=0,1,-1, segue que a deve ser primo. (Isto fecha a prova.)

Resposta

\;a\text{ é primo}\;é

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