Quais dos seguintes subconjuntos de Mn x n(R) são subespaços de Mn x n(R) ? O conjunto de todas as matrizes
Triangulares superiores nxn

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
S = Ain Mntimes n(R)mid A é triangular superior é
é subespaço de Mntimes n(R). Para isso vamos usar o critério de subespaço vetorial, que exige mostrar que (i) o vetor zero pertence a S, (ii) S é fechado sob soma e (iii) S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero de Mntimes n(R), que é a matriz O cujas entradas são todas zero. Como para toda i>j temos 0=0, a matriz O satisfaz a condição de triangularidade superior. Logo
Oin S

Passo 3

Sejam A e B duas matrizes triangulares superiores em S. Isso significa que para todo par de índices com i>j vale aij=0 e bij=0. Ao somar,
(A+B)ij = aij + bij = 0 + 0 = 0 para i>j,
logo A+B também é triangular superior e A+Bin S. Assim S é fechado sob adição.

Passo 4

Seja lambdainR e Ain S. Para i>j temos aij=0, então
(lambda A)ij = lambda,aij = lambdacdot 0 = 0
Isso mostra que lambda A continua triangular superior, ou seja, lambda Ain S. Logo S é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto das matrizes triangulares superiores em Mntimes n(R) satisfaz os critérios de subespaço (contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar). Portanto, é um subespaço vetorial de Mntimes n(R).

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