Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
? O conjunto de todas as matrizes
Triangulares superiores nxn
Triangulares superiores nxn
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é subespaço de
. Para isso vamos usar o critério de subespaço vetorial, que exige mostrar que (i) o vetor zero pertence a
, (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero de
, que é a matriz
cujas entradas são todas zero. Como para toda
temos
, a matriz
satisfaz a condição de triangularidade superior. Logo
Passo 3
Sejam
e
duas matrizes triangulares superiores em
. Isso significa que para todo par de índices com
vale
e
. Ao somar,
logo
também é triangular superior e
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 4
Seja
e
. Para
temos
, então
Isso mostra que
continua triangular superior, ou seja,
. Logo
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto das matrizes triangulares superiores em
satisfaz os critérios de subespaço (contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar). Portanto, é um subespaço vetorial de
.