Quais dos seguintes subconjuntos de P2(t) são subespaços de P2(t) ?
(a) a t^2+bt+c, onde a=0
(b) a t^2+bt+c, onde abc=0
(c) a t^2+a t+a

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos subconjuntos de P2(t) (polinômios de grau <=2) são subespaços. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais: para um subconjunto Wsubset V ser subespaço, precisamos verificar que
1. o vetor zero está em W,
2. W é fechado sob soma,
3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Analisando o item (a): polinômios da forma
p(t)=0cdot t^2 + b,t + c,
isto é, com a=0.
1. O polinômio zero ( b=0,c=0) está em (a).
2. Soma de
,b1t+c1 e b2t+c2 é (b1+b2)t+(c1+c2), ainda com coeficiente de t^2 nulo.
3. Multiplicação escalar lambda(b,t+c)= (lambda b)t+(lambda c) mantém o coeficiente de t^2 igual a zero.
Logo, (a) é subespaço.

Passo 3

Analisando o item (b): polinômios com a,b,c=0 (pelo menos um coeficiente é zero).
Tomemos
,p1(t)=0cdot t^2 +1cdot t +1 e
,p2(t)=1cdot t^2 +0cdot t +1.
Ambos satisfazem a,b,c=0, mas
p1(t)+p2(t) =1cdot t^2 +1cdot t +2,
cujo produto dos coeficientes é 1cdot1cdot2=2neq0.
Logo, não é fechado sob soma. Portanto, (b) não é subespaço.

Passo 4

Analisando o item (c): polinômios da forma
p(t)=a,t^2 + a,t + a = a,(t^2+t+1)
Isso é exatamente o conjunto ,a,(t^2+t+1)mid ainR.
1. Para a=0 obtém-se o polinômio zero.
2. Soma de a1(t^2+t+1) e a2(t^2+t+1) é (a1+a2)(t^2+t+1).
3. Para escalar lambda, lambdal(a,(t^2+t+1)r)=(lambda a)(t^2+t+1).
Tudo permanece na forma a,(t^2+t+1). Logo, (c) é subespaço.

Resposta

(a) e (c) são subespaços de P2(t).

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