Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
(a)
, onde
(b)
, onde
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dos subconjuntos de
(polinômios de grau
) são subespaços. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais: para um subconjunto
ser subespaço, precisamos verificar que
. o vetor zero está em
,
.
é fechado sob soma,
.
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Analisando o item (a): polinômios da forma
isto é, com
.
. O polinômio zero (
) está em (a).
. Soma de
e
é
, ainda com coeficiente de
nulo.
. Multiplicação escalar
mantém o coeficiente de
igual a zero.
Logo, (a) é subespaço.
Logo, (a) é subespaço.
Passo 3
Analisando o item (b): polinômios com
(pelo menos um coeficiente é zero).
Tomemos
e
.
Ambos satisfazem , mas
Tomemos
Ambos satisfazem
cujo produto dos coeficientes é
.
Logo, não é fechado sob soma. Portanto, (b) não é subespaço.
Logo, não é fechado sob soma. Portanto, (b) não é subespaço.
Passo 4
Analisando o item (c): polinômios da forma
Isso é exatamente o conjunto
.
. Para
obtém-se o polinômio zero.
. Soma de
e
é
.
. Para escalar
,
.
Tudo permanece na forma . Logo, (c) é subespaço.
Tudo permanece na forma
Resposta
(a) e (c) são subespaços de
.