Sejam
e
superfícies regulares. Mostre que um difeomorfismo
é uma isometria se, e somente se, o comprimento de arco de qualquer curva parametrizada em
é igual ao comprimento de arco da curva imagem por
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados:
e são superfícies regulares e é um difeomorfismo. - Pedido: mostrar que
é uma isometria se, e somente se, o comprimento de arco de qualquer curva parametrizada em é igual ao comprimento de arco da curva imagem por .
Informações relevantes que usarei (retomando os dados do enunciado):
- “Comprimento de arco” de uma curva parametrizada
é a quantidade obtida integrando a norma da derivada da curva, medida pela primeira forma fundamental da superfície. - A igualdade de comprimentos deve valer para qualquer curva parametrizada em
(entenda curvas ou lisas, suficientes para a prova).
Passo 2
Definição precisa de isometria e fórmula do comprimento de arco (aula rápida e concreta).
- Definição: direi que
é isometria quando ela preserva a primeira forma fundamental, isto é, para todo e vale
onde
é o produto interno dado pela primeira forma fundamental em cada superfície.
- Comprimento de uma curva: se
é , o comprimento de é
onde
. Análogo para a curva imagem
em
usando o produto interno de
.
Agora vou provar a implicação direta: se
é isometria então comprimentos são preservados.
Passo 3
Prova da ida: se
é isometria então
para toda curva
.
- Seja
uma curva . Defina . - Para todo
temos . - Como
é isometria, para cada
- Integrando em
obtemos
- Conclusão desta direção: isometria implica preservação de comprimentos de todas as curvas.
Passo 4
Estratégia para a recíproca: supor que todos os comprimentos são preservados e deduzir que
preserva produtos internos em cada ponto
— isto é, provar que a primeira forma fundamental é transportada por
.
Explicação do raciocínio: se para toda curva
temos
, em particular a igualdade vale em pequenos intervalos. A partir disso é possível comparar as normas de vetores tangentes infinitesimais e, via identidade de polarização, recuperar o produto interno completo.
Passo 5
Mostrando que normas de vetores tangentes são preservadas.
- Fixe
e . Escolha uma curva tal que e (isso sempre é possível, basta tomar uma curva com velocidade em ). - Para
o comprimento da restrição é
Pelo teorema do valor médio para integrais existe
tal que
Como
é contínua e
quando
, segue que
- Aplicando o mesmo raciocínio à curva imagem
, obtém-se
- Pela hipótese de preservação de comprimentos temos
para todo , logo os limites são iguais e portanto
- Conclusão: para todo
e todo a norma é preservada por .
Passo 6
Recuperando o produto interno completo (identidade de polarização).
- Para quaisquer
a identidade de polarização dá
- Como
preserva normas, ele preserva também normas de somas: . Aplicando a polarização aos vetores e obtemos
- Substituindo as igualdades de normas resulta
- Portanto
preserva o produto interno em para todo . Isso é exatamente a condição de que preserve a primeira forma fundamental: é isometria.
Passo 7
Pequenas observações finais e condições técnicas.
- Foi usado que as curvas são
para garantir continuidade de e existir o limite que relaciona comprimento médio e norma no ponto inicial; isso é suficiente e natural no contexto de superfícies regulares e difeomorfismo . - Assim, mostramos as duas implicações:
- se
é isometria então preserva comprimentos de todas as curvas; - se
preserva comprimentos de todas as curvas então preserva produtos internos e, portanto, é isometria.
- se