Sejam S e \bar{S} superfícies regulares. Mostre que um difeomorfismo \varphi: S \rightarrow \bar{S} é uma isometria se, e somente se, o comprimento de arco de qualquer curva parametrizada em S é igual ao comprimento de arco da curva imagem por \varphi.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados: S e \bar{S} são superfícies regulares e \varphi: S \to \bar{S} é um difeomorfismo.
  • Pedido: mostrar que \varphi é uma isometria se, e somente se, o comprimento de arco de qualquer curva parametrizada em S é igual ao comprimento de arco da curva imagem por \varphi.
Informações relevantes que usarei (retomando os dados do enunciado):
  • “Comprimento de arco” de uma curva parametrizada \gamma:[a,b]\to S é a quantidade obtida integrando a norma da derivada da curva, medida pela primeira forma fundamental da superfície.
  • A igualdade de comprimentos deve valer para qualquer curva parametrizada em S (entenda curvas C^1 ou lisas, suficientes para a prova).

Passo 2

Definição precisa de isometria e fórmula do comprimento de arco (aula rápida e concreta).
  • Definição: direi que \varphi é isometria quando ela preserva a primeira forma fundamental, isto é, para todo p\in S e u,v\in T_pS vale
\langle u,v\rangle_p = \langle d\varphi_p(u),\,d\varphi_p(v)\rangle_{\varphi(p)},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno dado pela primeira forma fundamental em cada superfície.
  • Comprimento de uma curva: se \gamma:[a,b]\to S é C^1, o comprimento de \gamma é
L(\gamma)=\int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt,
onde \|\gamma'(t)\|=\sqrt{\langle\gamma'(t),\gamma'(t)\rangle}. Análogo para a curva imagem \bar\gamma=\varphi\circ\gamma em \bar S usando o produto interno de \bar S.
Agora vou provar a implicação direta: se \varphi é isometria então comprimentos são preservados.

Passo 3

Prova da ida: se \varphi é isometria então L(\gamma)=L(\varphi\circ\gamma) para toda curva \gamma.
  • Seja \gamma:[a,b]\to S uma curva C^1. Defina \bar\gamma=\varphi\circ\gamma.
  • Para todo t\in[a,b] temos \bar\gamma'(t)=d\varphi_{\gamma(t)}(\gamma'(t)).
  • Como \varphi é isometria, para cada t
\|\bar\gamma'(t)\|_{\bar S}=\|d\varphi_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\|_{\bar S}=\|\gamma'(t)\|_{S}.
  • Integrando em t obtemos
L(\bar\gamma)=\int_a^b \|\bar\gamma'(t)\|_{\bar S}\,dt=\int_a^b \|\gamma'(t)\|_{S}\,dt=L(\gamma).
  • Conclusão desta direção: isometria implica preservação de comprimentos de todas as curvas.

Passo 4

Estratégia para a recíproca: supor que todos os comprimentos são preservados e deduzir que d\varphi_p preserva produtos internos em cada ponto p — isto é, provar que a primeira forma fundamental é transportada por \varphi.
Explicação do raciocínio: se para toda curva \gamma temos L(\gamma)=L(\varphi\circ\gamma), em particular a igualdade vale em pequenos intervalos. A partir disso é possível comparar as normas de vetores tangentes infinitesimais e, via identidade de polarização, recuperar o produto interno completo.

Passo 5

Mostrando que normas de vetores tangentes são preservadas.
  • Fixe p\in S e v\in T_pS. Escolha uma curva C^1 \gamma:[0,\varepsilon]\to S tal que \gamma(0)=p e \gamma'(0)=v (isso sempre é possível, basta tomar uma curva com velocidade v em 0).
  • Para t\in(0,\varepsilon] o comprimento da restrição \gamma|_{[0,t]} é
L(\gamma|_{[0,t]})=\int_0^t \|\gamma'(s)\|\,ds.
Pelo teorema do valor médio para integrais existe \xi_t\in(0,t) tal que
\frac{L(\gamma|_{[0,t]})}{t}=\|\gamma'(\xi_t)\|.
Como \gamma' é contínua e \xi_t\to 0 quando t\to 0^+, segue que
\lim_{t\to 0^+}\frac{L(\gamma|_{[0,t]})}{t}=\|\gamma'(0)\|=\|v\|.
  • Aplicando o mesmo raciocínio à curva imagem \bar\gamma=\varphi\circ\gamma, obtém-se
\lim_{t\to 0^+}\frac{L(\bar\gamma|_{[0,t]})}{t}=\|d\varphi_p(v)\|_{\bar S}.
  • Pela hipótese de preservação de comprimentos temos L(\bar\gamma|_{[0,t]})=L(\gamma|_{[0,t]}) para todo t, logo os limites são iguais e portanto
\|d\varphi_p(v)\|_{\bar S}=\|v\|_{S}.
  • Conclusão: para todo p\in S e todo v\in T_pS a norma é preservada por d\varphi_p.

Passo 6

Recuperando o produto interno completo (identidade de polarização).
  • Para quaisquer u,v\in T_pS a identidade de polarização dá
\langle u,v\rangle_p = \tfrac{1}{2}\big(\|u+v\|_p^2 - \|u\|_p^2 - \|v\|_p^2\big).
  • Como d\varphi_p preserva normas, ele preserva também normas de somas: \|d\varphi_p(u+v)\|_{\bar S}=\|u+v\|_p. Aplicando a polarização aos vetores d\varphi_p(u) e d\varphi_p(v) obtemos
\langle d\varphi_p(u),d\varphi_p(v)\rangle_{\varphi(p)}=\tfrac{1}{2}\big(\|d\varphi_p(u+v)\|_{\bar S}^2 - \|d\varphi_p(u)\|_{\bar S}^2 - \|d\varphi_p(v)\|_{\bar S}^2\big).
  • Substituindo as igualdades de normas resulta
\langle d\varphi_p(u),d\varphi_p(v)\rangle_{\varphi(p)}=\tfrac{1}{2}\big(\|u+v\|_p^2 - \|u\|_p^2 - \|v\|_p^2\big)=\langle u,v\rangle_p.
  • Portanto d\varphi_p preserva o produto interno em T_pS para todo p. Isso é exatamente a condição de que \varphi preserve a primeira forma fundamental: \varphi é isometria.

Passo 7

Pequenas observações finais e condições técnicas.
  • Foi usado que as curvas são C^1 para garantir continuidade de \gamma' e existir o limite que relaciona comprimento médio e norma no ponto inicial; isso é suficiente e natural no contexto de superfícies regulares e difeomorfismo C^1.
  • Assim, mostramos as duas implicações:
    • se \varphi é isometria então preserva comprimentos de todas as curvas;
    • se \varphi preserva comprimentos de todas as curvas então d\varphi_p preserva produtos internos e, portanto, \varphi é isometria.

Resposta

\varphi é isometria se, e somente se, para toda curva parametrizada \gamma em S vale L(\gamma)=L(\varphi\circ\gamma).

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