Mostre que a paridade dos polinômios de Legendre P_{l}(x)=P_{l}^{0}(x) e dos harmônicos esféricos Y_{l}^{m}(\theta, \varphi) é (-1)^{l}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que será usado.
  • Pedido 1: Mostrar que a paridade do polinômio de Legendre P_{l}(x) é (-1)^{l}. Isto significa mostrar que
P_{l}(-x)=(-1)^{l}P_{l}(x)\quad\text{para todo }x.
  • Pedido 2: Mostrar que a paridade do harmônico esférico Y_{l}^{m}(\theta,\varphi) é (-1)^{l}. Uma forma comum de enunciar isso é
Y_{l}^{m}(\pi-\theta,\varphi+\pi)=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi),
o que equivale a dizer que, sob inversão espacial \hat r\mapsto -\hat r, tem-se Y_{l}^{m}(-\hat r)=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\hat r).
Informações / definições que vou usar (convenções padrão com o fator de fase de Condon–Shortley):
  • Fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre:
P_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^{l}}{dx^{l}}\big[(x^{2}-1)^{l}\big].
  • Definição dos polinômios de Legendre associados (com o fator (-1)^{m}):
P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(x).
  • Fórmula dos harmônicos esféricos (constante de normalização N_{l m} não importa para a paridade):
Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)=N_{l m}\,P_{l}^{m}(\cos\theta)\,e^{i m\varphi}.
  • Transformação dos ângulos sob inversão \hat r\mapsto -\hat r:
\theta\mapsto\pi-\theta,\qquad \varphi\mapsto\varphi+\pi,
e a identidade trigonométrica \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta.

Passo 2

Prova da paridade de P_{l}(x) usando a fórmula de Rodrigues e a regra da cadeia para derivadas.
Primeiro, observe que a função g(x)=(x^{2}-1)^{l} é uma função par (ou seja, g(-x)=g(x)). Pela fórmula de Rodrigues,
P_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}g^{(l)}(x),
onde g^{(l)} denota a derivada l-ésima de g.
Agora calculamos P_{l}(-x). A derivada de uma composição com -x satisfaz, por indução (regra da cadeia),
\frac{d^{l}}{dx^{l}}[f(-x)]=(-1)^{l}\,f^{(l)}(-x)
para qualquer função f suficientemente suave. Aplicando isso a g obtemos
g^{(l)}(-x)=(-1)^{l}g^{(l)}(x),
porque g é par: g(-x)=g(x) implica g^{(l)}(-x)=(-1)^{l}g^{(l)}(x) (uma maneira direta de ver é diferenciar g(-x)=g(x) l vezes).
Portanto
P_{l}(-x)=\frac{1}{2^{l}l!}g^{(l)}(-x)=\frac{1}{2^{l}l!}(-1)^{l}g^{(l)}(x)=(-1)^{l}P_{l}(x).
Comentário ilustrativo: para l=0 obtemos P_{0}(x)=1 (par), para l=1 P_{1}(x)=x (ímpar), para l=2 P_{2}(x)=\tfrac{1}{2}(3x^{2}-1) (par), coincidindo com o fator (-1)^{l}.

Passo 3

Paridade dos polinômios de Legendre associados P_{l}^{m}(x).
Partimos da definição
P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(x).
Substituindo x\mapsto -x temos, usando (1-(-x)^{2})^{m/2}=(1-x^{2})^{m/2} e a propriedade obtida no passo anterior para P_{l}:
primeiro a regra da cadeia para derivadas dá
\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(-x)=(-1)^{m}P_{l}^{(m)}(-x),
onde P_{l}^{(m)} é a m-ésima derivada de P_{l}. Mas já sabemos que P_{l}(-x)=(-1)^{l}P_{l}(x); diferenciando essa relação m vezes e usando a regra da cadeia de novo resulta em
\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(-x)=(-1)^{l}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(x).
(uma forma curta de ver isso: combinar os dois sinais (-1)^{m} e a paridade de P_l conduz a (-1)^{l} para a m-ésima derivada avaliada em x.)
Substituindo na definição de P_{l}^{m}(-x) obtemos
\begin{aligned} P_{l}^{m}(-x) &=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(-x)\\[4pt] &=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}\big[(-1)^{l}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(x)\big]\\[4pt] &=(-1)^{l+m}\,(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(x)\\[4pt] &=(-1)^{l+m}P_{l}^{m}(x). \end{aligned}
Portanto
P_{l}^{m}(-x)=(-1)^{l+m}P_{l}^{m}(x).]

Passo 4

Paridade dos harmônicos esféricos Y_{l}^{m}(\theta,\varphi).
Escrevemos a expressão usual (novamente a constante de normalização N_{l m} não afeta a paridade):
Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)=N_{l m}\,P_{l}^{m}(\cos\theta)\,e^{i m\varphi}.
Aplicamos a transformação correspondente à inversão \hat r\mapsto -\hat r:
(\theta,\varphi)\mapsto(\pi-\theta,\varphi+\pi).
Calculamos cada fator:
  • \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta.
  • e^{i m(\varphi+\pi)}=e^{i m\varphi}e^{i m\pi}=e^{i m\varphi}(-1)^{m}.
  • Pelo passo 3, P_{l}^{m}(-\cos\theta)=(-1)^{l+m}P_{l}^{m}(\cos\theta).
Multiplicando tudo:
\begin{aligned} Y_{l}^{m}(\pi-\theta,\varphi+\pi) &=N_{l m}\,P_{l}^{m}(\cos(\pi-\theta))\,e^{i m(\varphi+\pi)}\\[4pt] &=N_{l m}\,P_{l}^{m}(-\cos\theta)\,e^{i m\varphi}(-1)^{m}\\[4pt] &=N_{l m}\,(-1)^{l+m}P_{l}^{m}(\cos\theta)\,e^{i m\varphi}(-1)^{m}\\[4pt] &=(-1)^{l+2m}N_{l m}\,P_{l}^{m}(\cos\theta)\,e^{i m\varphi}\\[4pt] &=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi), \end{aligned}
pois 2m é par e (-1)^{2m}=1. Assim os harmônicos esféricos têm paridade (-1)^{l} sob inversão.]

Passo 5

Interpretação rápida e exemplos para fixar.
  • Resultado para P_{l}: P_{l}(-x)=(-1)^{l}P_{l}(x). Ex.: P_{0}(x)=1 (par), P_{1}(x)=x (ímpar), P_{2}(x)=\tfrac{1}{2}(3x^{2}-1) (par).
  • Resultado para Y_{l}^{m}: Y_{l}^{m}(-\hat r)=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\hat r) ou equivalentemente Y_{l}^{m}(\pi-\theta,\varphi+\pi)=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi). Ex.: Y_{0}^{0} é constante (paridade +1), Y_{1}^{0}\propto\cos\theta muda de sinal (paridade -1).

Resposta

P_{l}(-x)=(-1)^{l}P_{l}(x)
Y_{l}^{m}(\pi-\theta,\varphi+\pi)=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)

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