Mostre que a paridade dos polinômios de Legendre
e dos harmônicos esféricos
é
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que será usado.
- Pedido 1: Mostrar que a paridade do polinômio de Legendre
é . Isto significa mostrar que
- Pedido 2: Mostrar que a paridade do harmônico esférico
é . Uma forma comum de enunciar isso é
o que equivale a dizer que, sob inversão espacial
, tem-se
.
Informações / definições que vou usar (convenções padrão com o fator de fase de Condon–Shortley):
- Fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre:
- Definição dos polinômios de Legendre associados (com o fator
):
- Fórmula dos harmônicos esféricos (constante de normalização
não importa para a paridade):
- Transformação dos ângulos sob inversão
:
e a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Prova da paridade de
usando a fórmula de Rodrigues e a regra da cadeia para derivadas.
Primeiro, observe que a função
é uma função par (ou seja,
). Pela fórmula de Rodrigues,
onde
denota a derivada
-ésima de
.
Agora calculamos
. A derivada de uma composição com
satisfaz, por indução (regra da cadeia),
para qualquer função
suficientemente suave. Aplicando isso a
obtemos
porque
é par:
implica
(uma maneira direta de ver é diferenciar
vezes).
Portanto
Comentário ilustrativo: para
obtemos
(par), para
(ímpar), para
(par), coincidindo com o fator
.
Passo 3
Paridade dos polinômios de Legendre associados
.
Partimos da definição
Substituindo
temos, usando
e a propriedade obtida no passo anterior para
:
primeiro a regra da cadeia para derivadas dá
primeiro a regra da cadeia para derivadas dá
onde
é a
-ésima derivada de
. Mas já sabemos que
; diferenciando essa relação
vezes e usando a regra da cadeia de novo resulta em
(uma forma curta de ver isso: combinar os dois sinais
e a paridade de
conduz a
para a
-ésima derivada avaliada em
.)
Substituindo na definição de
obtemos
Portanto
Passo 4
Paridade dos harmônicos esféricos
.
Escrevemos a expressão usual (novamente a constante de normalização
não afeta a paridade):
Aplicamos a transformação correspondente à inversão
:
Calculamos cada fator:
-
. -
. - Pelo passo 3,
.
Multiplicando tudo:
pois
é par e
. Assim os harmônicos esféricos têm paridade
sob inversão.]
Passo 5
Interpretação rápida e exemplos para fixar.
- Resultado para
: . Ex.: (par), (ímpar), (par). - Resultado para
: ou equivalentemente . Ex.: é constante (paridade ), muda de sinal (paridade ).