a) Mostre que
.
b) Usando o fato de que:
sendo
o elemento de volume do espaço n -dimensional e que o volume de uma hiper-esfera (esfera generalizada de raio R ) tem a forma
, obtenha
. Verifique sua resposta para
.
b) Usando o fato de que:
Passo 1
O enunciado faz duas coisas:
- (a) Pede para mostrar a identidade
- (b) Diz que
com que
, e que o volume de uma hiper-esfera de raio
tem a forma
Pede-se obter a constante
(o coeficiente que multiplica
no volume da
-esfera) e verificar o resultado para
.
Vou usar as informações acima sem pedir nada mais. Nos passos seguintes vou provar a integral gaussiana unidimensional, elevar ao
e depois calcular a integral em coordenadas esféricas n-dimensionais para extrair
.
Passo 2
Primeiro foco na integral unidimensional e mostro que
Defino
como acima e observo que
é mais fácil de calcular em coordenadas polares (isto é um truque clássico). Escrevo
Aqui introduzi uma segunda variável
e usei a independência dos integrais para escrever o produto como uma integral dupla sobre todo o plano
.
Passo 3
Agora mudo para coordenadas polares no plano
:
No produto de mudança de variáveis aparece o jacobiano
, isto é o elemento de área transforma-se como
. Os limites ficam
e
. Portanto
Explico por que: a função integrando depende apenas de
(porque
), e a área angular dá um fator
.
Passo 4
Avalio a integral em
. Primeiro a integral em
dá
. Depois faço a substituição direta para a integral em
:
Faço a substituição
. Então
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Portanto
Passo 5
Como
(integrando positivo), tomo a raiz positiva e obtenho
Elevando ambos os lados à potência
,
Isto encerra a parte (a).
Passo 6
Agora passo para a parte (b). A igualdade fornecida no enunciado diz que o mesmo produto de
integrais unidimensionais é a integral n-dimensional
Vou calcular a integral no lado direito em coordenadas esféricas n-dimensionais (coordenadas radiais): usar a simetria radial do integrando.
Passo 7
Em
dimensões usamos uma coordenada radial
e as coordenadas angulares; o elemento de volume se separa em parte radial e parte angular. Se
é a área da superfície da esfera unitária em
, então o elemento de volume pode ser escrito como
quando se integra uma função radial (isto é, que depende só de
). Assim a integral n-dimensional torna-se
Observação sobre
: se o volume da bola de raio
é
, então a área da superfície da esfera de raio
é a derivada em relação a
:
Para
isso dá
. Em particular
Passo 8
Avalio a integral radial
Faço a substituição
. Então
e
. Escrevo
e
. Portanto
A integral em
é a definição da função Gamma:
Assim concluímos
Passo 9
Volto à integral n-dimensional e uso o resultado do passo anterior:
Mas pelo resultado da parte (a) esse mesmo integral vale
. Igualando as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
obtemos
Passo 10
Lembremos a relação entre
e
:
Logo
Esta expressão pode ser simplificada usando a identidade da função Gamma
Substituindo isso em cima dá
Esta forma é a mais comum para o volume da bola unidade n-dimensional:
.
Passo 11
Verificação para
. Substituo
na fórmula
Uso valores conhecidos da Gamma:
e a relação
. Assim
Portanto
que é exatamente o coeficiente do volume da esfera usual em 3D. A verificação está correta.
Resposta
(a)
(b)
. Para
obtém-se
.