1. Num plano horizontal sem atrito, uma partícula m_{1} move-se com movimento circular uniforme e raio R=20 \mathrm{~cm} e velocidade angular =6 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Ao passar pelo ponto \mathrm{P}, \omega \quad \pi \quad outra partícula, \mathrm{m}_{2}, é lançada do ponto O com velocidade \mathrm{v}_{0}. Qual valor de \mathrm{v}_{\mathrm{o}} para que \mathrm{m}_{1} e \mathrm{m}_{2} colidam em Q ?

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Raio da trajetória circular: \,R=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade angular da partícula \,m_{1}: \,\omega=6\\ \mathrm{rad/s}.
    • No instante em que m_{1} passa pelo ponto P (esse instante será o instante inicial t=0), a outra partícula m_{2} é lançada do ponto O com velocidade inicial \,v_{0}.
    • As partículas colidem no ponto Q, que está na circunferência de raio R (ou seja, a colisão ocorre na borda do círculo).
  • O que o problema pede:
    • Determinar o valor de \,v_{0} para que m_{1} e m_{2} colidam em Q.
Observação implícita que vou usar durante a resolução (extraída do enunciado): m_{2} é lançado radialmente a partir do centro O em direção a Q (ou seja, alonga a reta OQ), de modo que sua trajetória é uma reta de comprimento R até a colisão. Começo a resolver a partir daqui.

Passo 2

Entender os movimentos separadamente e definir variáveis de tempo.
  • Movimento de m_{1}: é movimento circular uniforme com velocidade angular \omega. Em movimento circular uniforme, a relação entre o deslocamento angular \theta (em radianos) e o tempo t é
\theta=\omega t,
onde:
  • \theta é o ângulo percorrido em radianos,
  • \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s},
  • t é o tempo em segundos.
  • Movimento de m_{2}: é movimento retilíneo uniforme (velocidade constante) ao longo do raio OQ. A distância que m_{2} deve percorrer até colidir em Q é exatamente R. Se m_{2} tem velocidade constante v_{0}, o tempo que leva para atingir Q é
t=\frac{R}{v_{0}}.
Portanto, para haver colisão em Q as duas partículas devem estar em Q no mesmo tempo t. Vou relacionar esse tempo com o deslocamento angular de m_{1}.

Passo 3

Determinar o ângulo que m_{1} precisa percorrer até chegar em Q.
  • No instante inicial t=0, m_{1} está em P.
  • A colisão ocorre em Q, que está em uma posição na circunferência. O enunciado indica que a colisão em Q ocorre quando m_{1} percorre um deslocamento angular igual a \pi radianos (essa é a interpretação natural do trecho dado “ \omega\\ \pi” do enunciado: a colisão ocorre quando \omega t=\pi). Assim o ângulo a ser percorrido por m_{1} entre P e Q é
\theta=\pi.
  • Pelo movimento circular uniforme, o tempo que m_{1} leva para percorrer esse ângulo é
t=\frac{\theta}{\omega}=\frac{\pi}{\omega}.

Passo 4

Relacionar os tempos dos dois movimentos (condição de colisão).
  • Tempo que m_{1} leva até Q:
t=\frac{\pi}{\omega}.
  • Tempo que m_{2} leva até Q:
t=\frac{R}{v_{0}}.
  • Pela condição de colisão (chegarem no mesmo instante), igualamos os tempos:
\frac{R}{v_{0}}=\frac{\pi}{\omega}.

Passo 5

Isolar v_{0} na equação e interpretar a fórmula.
  • Da igualdade anterior:
v_{0}=\frac{R\,\omega}{\pi}.
Explicação do que essa fórmula significa: para que o corpo que parte do centro percorra o raio exatamente no tempo em que o primeiro percorre o ângulo \pi, sua velocidade tem que ser a razão entre a distância radial R e o tempo \pi/\omega. Nada de complicado: distância dividida por tempo.

Passo 6

Substituir os números e calcular numericamente.
  • Substituindo \,R=0{,}20\\ \mathrm{m} e \,\omega=6\\ \mathrm{rad/s} na fórmula:
v_{0}=\frac{0{,}20\cdot 6}{\pi}=\frac{1{,}20}{\pi}\\ \mathrm{m/s}.
  • Valor numérico aproximado (usar \pi\approx 3{,}14159):
v_{0}\approx\frac{1{,}20}{3{,}14159}\approx 0{,}382\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\displaystyle v_{0}=\frac{R\,\omega}{\pi}=\frac{1{,}20}{\pi}\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}382\\ \mathrm{m/s}

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