- Num plano horizontal sem atrito, uma partícula
move-se com movimento circular uniforme e raio
e velocidade angular
. Ao passar pelo ponto
outra partícula,
, é lançada do ponto O com velocidade
. Qual valor de
para que
e
colidam em Q ?
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
-
Dados fornecidos:
- Raio da trajetória circular:
. - Velocidade angular da partícula
: - No instante em que
passa pelo ponto (esse instante será o instante inicial ), a outra partícula é lançada do ponto com velocidade inicial . - As partículas colidem no ponto
, que está na circunferência de raio (ou seja, a colisão ocorre na borda do círculo).
- Raio da trajetória circular:
-
O que o problema pede:
- Determinar o valor de
para que e colidam em .
- Determinar o valor de
Observação implícita que vou usar durante a resolução (extraída do enunciado):
é lançado radialmente a partir do centro
em direção a
(ou seja, alonga a reta
), de modo que sua trajetória é uma reta de comprimento
até a colisão. Começo a resolver a partir daqui.
Passo 2
Entender os movimentos separadamente e definir variáveis de tempo.
- Movimento de
: é movimento circular uniforme com velocidade angular . Em movimento circular uniforme, a relação entre o deslocamento angular (em radianos) e o tempo é
onde:
-
é o ângulo percorrido em radianos, -
é a velocidade angular em , -
é o tempo em segundos. -
Movimento de
: é movimento retilíneo uniforme (velocidade constante) ao longo do raio . A distância que deve percorrer até colidir em é exatamente . Se tem velocidade constante , o tempo que leva para atingir é
Portanto, para haver colisão em
as duas partículas devem estar em
no mesmo tempo
. Vou relacionar esse tempo com o deslocamento angular de
.
Passo 3
Determinar o ângulo que
precisa percorrer até chegar em
.
- No instante inicial
, está em . - A colisão ocorre em
, que está em uma posição na circunferência. O enunciado indica que a colisão em ocorre quando percorre um deslocamento angular igual a radianos (essa é a interpretação natural do trecho dado “ ” do enunciado: a colisão ocorre quando ). Assim o ângulo a ser percorrido por entre e é
- Pelo movimento circular uniforme, o tempo que
leva para percorrer esse ângulo é
Passo 4
Relacionar os tempos dos dois movimentos (condição de colisão).
- Tempo que
leva até :
- Tempo que
leva até :
- Pela condição de colisão (chegarem no mesmo instante), igualamos os tempos:
Passo 5
Isolar
na equação e interpretar a fórmula.
- Da igualdade anterior:
Explicação do que essa fórmula significa: para que o corpo que parte do centro percorra o raio exatamente no tempo em que o primeiro percorre o ângulo
, sua velocidade tem que ser a razão entre a distância radial
e o tempo
. Nada de complicado: distância dividida por tempo.
Passo 6
Substituir os números e calcular numericamente.
- Substituindo
e na fórmula:
- Valor numérico aproximado (usar
):