(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as fórmulas das derivadas parciais de segunda ordem de uma função composta z=z(u(x,y)). O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar também da regra do produto para derivar expressões como dz/du⋅∂u/∂x.
Passo 2
Aplicamos primeiro a regra da cadeia para obter a derivada de z em relação a x:
Passo 3
Agora derivamos essa expressão em relação a x usando a regra do produto e novamente a cadeia:
Como
seguimos para
Passo 4
De modo análogo, a primeira derivada de z em relação a y é
Derivando de novo em relação a y, usando produto e cadeia, obtemos
Passo 5
Para a derivada mista, diferenciamos ∂z/∂x em relação a y:
Aplicando produto e cadeia:
Resposta
As fórmulas finais são: