(b) Mostre que
partial^2 zpartial x^2 & =d zd u partial^2 upartial x^2+d^2 zd u^2(partial upartial x)^2 partial^2 zpartial y^2 & =d zd u partial^2 upartial y^2+d^2 zd u^2(partial upartial y)^2 partial^2 zpartial y partial x & =d zd u partial^2 upartial y partial x+d^2 zd u^2 partial upartial x partial upartial y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as fórmulas das derivadas parciais de segunda ordem de uma função composta z=z(u(x,y)). O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar também da regra do produto para derivar expressões como dz/du⋅∂u/∂x.

Passo 2

Aplicamos primeiro a regra da cadeia para obter a derivada de z em relação a x:
partial zpartial x=dzdu,partial upartial x

Passo 3

Agora derivamos essa expressão em relação a x usando a regra do produto e novamente a cadeia:
partial^2 zpartial x^2=partialpartial xgl(dzdugr)partial upartial x+dzdu,partial^2 upartial x^2
Como
partialpartial xl(dzdur)=d^2zdu^2,partial upartial x,
seguimos para
partial^2 zpartial x^2=d^2zdu^2l(partial upartial xr)^2+dzdu,partial^2 upartial x^2

Passo 4

De modo análogo, a primeira derivada de z em relação a y é
partial zpartial y=dzdu,partial upartial y
Derivando de novo em relação a y, usando produto e cadeia, obtemos
partial^2 zpartial y^2=d^2zdu^2l(partial upartial yr)^2+dzdu,partial^2 upartial y^2

Passo 5

Para a derivada mista, diferenciamos ∂z/∂x em relação a y:
partial^2 zpartial ypartial x=partialpartial yl(dzdu,partial upartial xr)
Aplicando produto e cadeia:
partial^2 zpartial ypartial x=d^2zdu^2,partial upartial y,partial upartial x+dzdu,partial^2 upartial ypartial x

Resposta

As fórmulas finais são:
partial^2 zpartial x^2=dzdu,partial^2 upartial x^2+d^2 zdu^2l(partial upartial xr)^2,
partial^2 zpartial y^2=dzdu,partial^2 upartial y^2+d^2 zdu^2l(partial upartial yr)^2,
partial^2 zpartial ypartial x=dzdu,partial^2 upartial ypartial x+d^2 zdu^2,partial upartial x,partial upartial y

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