- Se
for uma função diferenciável de
e
e se
e
forem funções duas vezes deriváveis de
, então
será uma função duas vezes derivável de
Passo 1
O enunciado afirma que, aplicando regra da cadeia duas vezes, obteríamos
. O conteúdo é a regra da cadeia de segunda ordem para funções de várias variáveis.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar como obtemos a primeira derivada usando a regra da cadeia. Se
, então
Passo 3
Agora aplicamos a derivada em relação a
nessa expressão, usando a regra do produto em cada termo. Para o primeiro termo temos
Passo 4
Mas
também é uma derivada de função composta, então
Passo 5
Repetindo para o segundo termo
e somando tudo, obtemos
[\frac{d2z}{dt2}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{d2x}{dt2}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{d2y}{dt2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x2}\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)2+2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial^2 z}{\partial y2}\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)2.
Passo 6
Comparando com a fórmula proposta no enunciado, vemos que ela está incompleta: faltam os termos que envolvem as derivadas parciais de segunda ordem e os quadrados de
e
.
Podemos confirmar a falha da fórmula com um contraexemplo simples. Tome ,
,
. Então
, mas a fórmula proposta dá zero. Isso mostra que ela não vale.
Podemos confirmar a falha da fórmula com um contraexemplo simples. Tome
Passo 7
Portanto, a expressão correta para
inclui todos os termos que derivamos acima.
Resposta
A relação dada está errada. A fórmula correta é:
[
\frac{d2z}{dt2}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{d2x}{dt2}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{d2y}{dt2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x2}\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)2+2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial^2 z}{\partial y2}\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)2.
\frac{d2z}{dt2}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{d2x}{dt2}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{d2y}{dt2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x2}\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)2+2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial^2 z}{\partial y2}\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)2.