1. Se z for uma função diferenciável de x e y e se x e y forem funções duas vezes deriváveis de t, então z será uma função duas vezes derivável de t e
d^2 zd t^2=partial zpartial x d^2 xd t^2+partial zpartial y d^2 yd t^2

Passo 1

O enunciado afirma que, aplicando regra da cadeia duas vezes, obteríamos d^2z/dt^2=partial zpartial x,d^2x/dt^2+partial zpartial y,d^2y/dt^2. O conteúdo é a regra da cadeia de segunda ordem para funções de várias variáveis.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar como obtemos a primeira derivada usando a regra da cadeia. Se z=z(x(t),y(t)), então
dzdt=partial zpartial xdxdt+partial zpartial ydydt

Passo 3

Agora aplicamos a derivada em relação a t nessa expressão, usando a regra do produto em cada termo. Para o primeiro termo temos
ddtl(partial zpartial xdxdtr)=ddtl(partial zpartial xr)dxdt+partial zpartial xd^2xdt^2

Passo 4

Mas ddt(partial z/partial x) também é uma derivada de função composta, então
ddtl(partial zpartial xr)=partial^2 zpartial x^2dxdt+partial^2 zpartial xpartial ydydt

Passo 5

Repetindo para o segundo termo partial z/partial y,(dy/dt) e somando tudo, obtemos
[\frac{d2z}{dt2}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{d2x}{dt2}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{d2y}{dt2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x2}\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)2+2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial^2 z}{\partial y2}\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)2.

Passo 6

Comparando com a fórmula proposta no enunciado, vemos que ela está incompleta: faltam os termos que envolvem as derivadas parciais de segunda ordem e os quadrados de dx/dt e dy/dt.
Podemos confirmar a falha da fórmula com um contraexemplo simples. Tome z=x^2, x=t, y=t. Então d^2z/dt^2=2, mas a fórmula proposta dá zero. Isso mostra que ela não vale.

Passo 7

Portanto, a expressão correta para d^2z/dt^2 inclui todos os termos que derivamos acima.

Resposta

A relação dada está errada. A fórmula correta é:
[
\frac{d2z}{dt2}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{d2x}{dt2}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{d2y}{dt2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x2}\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)2+2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial^2 z}{\partial y2}\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)2.

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