Prove que se \frac{u}{c} \ll 1, a energia cinética K de uma partícula em movimento será sempre muito menor do que a sua energia em repouso m_{0} c^{2}.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, quando a velocidade da partícula u é muito menor que a velocidade da luz c (isto é, \tfrac{u}{c}\ll1), a energia cinética K dessa partícula é sempre muito menor do que sua energia de repouso m_{0}c^{2}. O conteúdo principal aqui é a energia relativística e a aproximação de baixo módulo de velocidade usando expansão binomial.

Passo 2

Na teoria da relatividade, a energia total de uma partícula de massa de repouso m_{0} movendo-se com velocidade u é
E \;=\;\gamma\,m_{0}c^{2},
em que
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \quad\text{e}\quad \beta = \frac{u}{c}.

Passo 3

A energia cinética K é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
K = E - m_{0}c^{2} = m_{0}c^{2}\bigl(\gamma - 1\bigr).

Passo 4

Como \beta = \tfrac{u}{c}\ll1, usamos a expansão binomial para \gamma = (1-\beta^{2})^{-1/2}. Até ordem \beta^{2} temos
\gamma \approx 1 + \tfrac{1}{2}\,\beta^{2}.

Passo 5

Substituindo na expressão de K,
K \approx m_{0}c^{2}\Bigl(1 + \tfrac{1}{2}\,\beta^{2} - 1\Bigr) = \tfrac{1}{2}\,m_{0}c^{2}\,\beta^{2} = \tfrac{1}{2}\,m_{0}u^{2}.
Portanto,
\frac{K}{m_{0}c^{2}} \approx \frac{1}{2}\,\beta^{2} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{u}{c}\Bigr)^{2}.
Como \tfrac{u}{c}\ll1, temos \tfrac{1}{2}(u/c)^{2}\ll1, o que implica K\ll m_{0}c^{2}.

Resposta

Quando \tfrac{u}{c}\ll1, a energia cinética satisfaz
K\approx \tfrac{1}{2}\,m_{0}u^{2} \quad\text{e}\quad \frac{K}{m_{0}c^{2}}\approx \tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{u}{c}\Bigr)^{2}\ll1,
logo K é muito menor que m_{0}c^{2}.

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