Uma corda de 3m de comprimento e fixa em suas duas extremidades está vibrando em seu terceiro harmônico ressonante. O deslocamento máximo de um ponto situado no centro de um ventre é de 4 mm . A velocidade de propagação das ondas transversais que geram a configuração estacionária é de 50 m / s. Qual é o deslocamento máximo, em relação à posição de equilíbrio, em um ponto nesta corda situado em 1,34m?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão nos pede e no que precisamos saber para resolver. Temos uma corda de 3 metros fixada nas duas pontas que está vibrando em seu terceiro harmônico ressonante. Sabemos que o deslocamento máximo no centro da corda é de 4 mm e que a velocidade de propagação das ondas transversais nessa corda é de 50 m/s. Queremos descobrir qual é o deslocamento máximo em um ponto que está a 1,34 metros de uma das extremidades.
Aqui, vamos usar conceitos de ondas estacionárias e harmônicos em cordas fixas. Precisamos entender como os harmônicos funcionam e como calcular o deslocamento máximo em diferentes pontos da corda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um harmônico. Em uma corda fixa nas duas extremidades, os pontos fixos são chamados de nós, onde o deslocamento é sempre zero. Entre dois nós, temos ventres, que são pontos de deslocamento máximo. O terceiro harmônico significa que há três ventres na corda.
A frequência dos harmônicos é uma múltipla da frequência fundamental. No terceiro harmônico, o comprimento de onda ( lambda) está relacionado com o comprimento da corda (L) por:
lambda = 2Ln
onde n é o número do harmônico. Aqui, n = 3, então:
lambda = 2 times 3,m3 = 2,m

Passo 3

Agora, vamos relacionar a velocidade de propagação ( v) com a frequência ( f) e o comprimento de onda:
v = f lambda
Com v = 50,m/s e lambda = 2,m, podemos encontrar a frequência:
f = vlambda = 502 = 25,Hz

Passo 4

A equação geral para o deslocamento em uma onda estacionária é:
y(x) = A sin(npi xL) cos(omega t)
Onde:
  • A é a amplitude máxima
  • n é o número do harmônico
  • L é o comprimento da corda
  • omega é a frequência angular ( omega = 2pi f)
  • x é a posição ao longo da corda
Como estamos procurando o deslocamento máximo em um ponto específico, podemos focar na parte espacial da função:
y(x)max = A sin(npi xL)

Passo 5

Sabemos que no centro da corda ( x = L2 = 1,5,m), o deslocamento máximo é de 4 mm. Vamos usar isso para encontrar a amplitude A.
Substituindo na equação:
4,mm = A sin(3pi times 1,53) = A sin(3pi times 1,53) = A sin(1,5pi / 1)
Simplificando:
sin(3pi times 1,53) = sin(4,5pi3) = sin(pi2) = 1
Então:
4,mm = A times 1 Rightarrow A = 4,mm

Passo 6

Agora que temos a amplitude A = 4,mm, vamos calcular o deslocamento máximo em x = 1,34,m. Usando a mesma equação:
y(1,34)max = 4,mm times sin(3pi times 1,343) = 4,mm times sin(pi times 1,34)

Passo 7

Calculando o ângulo dentro do seno:
pi times 1,34 approx 4,21,rad
Agora, calculamos sin(4,21):
sin(4,21) approx -0,89
Como estamos interessados no deslocamento máximo, consideramos o valor absoluto:
| -0,89 | = 0,89

Resposta

O deslocamento máximo no ponto situado a 1,34 metros da extremidade é aproximadamente 3,56 mm.

Exercícios relacionados