Uma corda de 3m de comprimento e fixa em suas duas extremidades está vibrando em seu terceiro harmônico ressonante. O deslocamento máximo de um ponto situado no centro de um ventre é de 4 mm . A velocidade de propagação das ondas transversais que geram a configuração estacionária é de
. Qual é o deslocamento máximo, em relação à posição de equilíbrio, em um ponto nesta corda situado em 1,34m?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão nos pede e no que precisamos saber para resolver. Temos uma corda de 3 metros fixada nas duas pontas que está vibrando em seu terceiro harmônico ressonante. Sabemos que o deslocamento máximo no centro da corda é de 4 mm e que a velocidade de propagação das ondas transversais nessa corda é de 50 m/s. Queremos descobrir qual é o deslocamento máximo em um ponto que está a 1,34 metros de uma das extremidades.
Aqui, vamos usar conceitos de ondas estacionárias e harmônicos em cordas fixas. Precisamos entender como os harmônicos funcionam e como calcular o deslocamento máximo em diferentes pontos da corda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um harmônico. Em uma corda fixa nas duas extremidades, os pontos fixos são chamados de nós, onde o deslocamento é sempre zero. Entre dois nós, temos ventres, que são pontos de deslocamento máximo. O terceiro harmônico significa que há três ventres na corda.
A frequência dos harmônicos é uma múltipla da frequência fundamental. No terceiro harmônico, o comprimento de onda (
) está relacionado com o comprimento da corda (L) por:
onde
é o número do harmônico. Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a velocidade de propagação (
) com a frequência (
) e o comprimento de onda:
Com
e
, podemos encontrar a frequência:
Passo 4
A equação geral para o deslocamento em uma onda estacionária é:
Onde:
-
é a amplitude máxima -
é o número do harmônico -
é o comprimento da corda -
é a frequência angular ( ) -
é a posição ao longo da corda
Como estamos procurando o deslocamento máximo em um ponto específico, podemos focar na parte espacial da função:
Passo 5
Sabemos que no centro da corda (
), o deslocamento máximo é de 4 mm. Vamos usar isso para encontrar a amplitude
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Agora que temos a amplitude
, vamos calcular o deslocamento máximo em
. Usando a mesma equação:
Passo 7
Calculando o ângulo dentro do seno:
Agora, calculamos
:
Como estamos interessados no deslocamento máximo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O deslocamento máximo no ponto situado a 1,34 metros da extremidade é aproximadamente 3,56 mm.