Mostre, partindo das eqs. (05.1) e (05.2), que se a segunda partícula for um alvo,
, então teremos:
Inclua as considerações para aproximações e explicações/justificativas necessárias.
A partir das eqs (06.1) e (06.2), mostre o que acontece nos casos particulares quando:
- As massas são iguais
?
-
alvo é massivo,
, i.é.,
?
- O Projetil é massivo
, i.é.,
A partir das eqs (06.1) e (06.2), mostre o que acontece nos casos particulares quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata de colisões entre partículas e usa as equações de conservação de momento e energia (as eqs. (05.1) e (05.2)). Precisamos mostrar como as velocidades finais $ v_{1}^{\prime} $ e $ v_{2}^{\prime} $ se relacionam quando a segunda partícula é um alvo estacionário ($ v_{2}^{\prime} = 0 $). Além disso, vamos analisar três casos específicos referentes às massas das partículas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como a massa influencia no resultado da colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações de conservação de momento e energia para uma colisão elástica:
Como a segunda partícula é um alvo, assumimos que ela está inicialmente em repouso ($ v_{2} = 0
v_{2}^{\prime} = 0 $).
Passo 3
Substituindo $ v_{2} = 0 $ e $ v_{2}^{\prime} = 0 $ nas equações de conservação, temos:
Conservação do Momento:
Conservação da Energia:
Passo 4
Da conservação do momento, podemos dividir ambos os lados por $ m_{1} $:
Isso sugere que a velocidade da primeira partícula não muda, mas isso só é válido se não houver interação. Porém, na realidade, se a segunda partícula é um alvo fixo e massivo, devemos considerar a troca de energia de forma diferente.
Passo 5
Voltando às equações iniciais sem assumir $ v_{2}^{\prime} = 0 $ de imediato, vamos resolver para $ v_{1}^{\prime} $ e $ v_{2}^{\prime} $.
Usando as equações de conservação:
Queremos mostrar que se $ v_{2}^{\prime} = 0 $, então:
Passo 6
Assumindo $ v_{2}^{\prime} = 0 $, substituímos na equação (1):
Dividindo por $ m_{1} $:
Isso confirma que a velocidade da primeira partícula permanece a mesma se a segunda partícula não se move após a colisão, que é o caso de um alvo fixo e massivo.
Passo 7
Agora, vamos resolver para o caso geral sem assumir $ v_{2}^{\prime} = 0 $ para obter as expressões completas.
A partir da conservação do momento:
Como $ v_{2} = 0 $, e rearranjando para resolver $ v_{2}^{\prime} $:
Substituindo de volta na equação de $ v_{1}^{\prime} $:
Passo 8
Agora que temos as expressões gerais:
Podemos analisar os casos particulares pedidos.
Passo 9
1. Quando as massas são iguais $ m_{1} = m_{2} $:
Substituindo $ m_{1} = m_{2} = m $ nas equações:
Interpretação: A primeira partícula para completamente e a segunda partícula adquire a velocidade inicial da primeira. É como se elas trocassem suas velocidades.
Passo 10
2. Quando o alvo é massivo, $ m_{2} > m_{1} $, ou seja, $ m_{1} \pm m_{2} \approx m_{2} $:
Aqui, $ m_{1} \ll m_{2} $, então:
Interpretação: A primeira partícula inverte sua direção e mantém aproximadamente a mesma velocidade, enquanto a segunda partícula quase não se move devido à sua grande massa.
Passo 11
3. Quando o projetil é massivo $ m_{1} \gg m_{2} $, ou seja, $ m_{1} \pm m_{2} \approx m_{1} $:
Aqui, $ m_{1} \gg m_{2} $, então:
Interpretação: A primeira partícula continua praticamente com a mesma velocidade, enquanto a segunda partícula adquire uma velocidade que é o dobro da velocidade inicial da primeira.
Resposta
Resolvemos as expressões para as velocidades após a colisão e analisamos os casos:
- Massas iguais ($ m_{1} = m_{2} $):
- Alvo massivo ($ m_{2} > m_{1} $):
- Projetil massivo ($ m_{1} \gg m_{2} $):