Mostre, partindo das eqs. (05.1) e (05.2), que se a segunda partícula for um alvo, v2^prime=0, então teremos:
& v1^prime=m1-m2m1+m2 v1 & v2^prime=2 m1m1+m2 v1
Inclua as considerações para aproximações e explicações/justificativas necessárias.
A partir das eqs (06.1) e (06.2), mostre o que acontece nos casos particulares quando:
  1. As massas são iguais m1=m2 ?
  2. O alvo é massivo, m2>m1, i.é., m1 pm m2 approx m2 ?
  3. O Projetil é massivo m1 gg m2, i.é., m1 pm m2 approx m1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata de colisões entre partículas e usa as equações de conservação de momento e energia (as eqs. (05.1) e (05.2)). Precisamos mostrar como as velocidades finais $ v_{1}^{\prime} $ e $ v_{2}^{\prime} $ se relacionam quando a segunda partícula é um alvo estacionário ($ v_{2}^{\prime} = 0 $). Além disso, vamos analisar três casos específicos referentes às massas das partículas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como a massa influencia no resultado da colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de conservação de momento e energia para uma colisão elástica:
& m1 v1 + m2 v2 = m1 v1^prime + m2 v2^prime (Conservação do Momento) & 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 = 12 m1 v1^prime 2 + 12 m2 v2^prime 2 (Conservação da Energia) çãçã
Como a segunda partícula é um alvo, assumimos que ela está inicialmente em repouso ($ v_{2} = 0 v2 = 0 óãé v_{2}^{\prime} = 0 $).

Passo 3

Substituindo $ v_{2} = 0 $ e $ v_{2}^{\prime} = 0 $ nas equações de conservação, temos:
Conservação do Momento:
v2 = 0
Conservação da Energia:
v2^prime = 0

Passo 4

Da conservação do momento, podemos dividir ambos os lados por $ m_{1} $:
m1
Isso sugere que a velocidade da primeira partícula não muda, mas isso só é válido se não houver interação. Porém, na realidade, se a segunda partícula é um alvo fixo e massivo, devemos considerar a troca de energia de forma diferente.

Passo 5

Voltando às equações iniciais sem assumir $ v_{2}^{\prime} = 0 $ de imediato, vamos resolver para $ v_{1}^{\prime} $ e $ v_{2}^{\prime} $.
Usando as equações de conservação:
v2^prime = 0
Queremos mostrar que se $ v_{2}^{\prime} = 0 $, então:
v1^prime

Passo 6

Assumindo $ v_{2}^{\prime} = 0 $, substituímos na equação (1):
v2^prime = 0
Dividindo por $ m_{1} $:
m1 v1 = m1 v1^prime
Isso confirma que a velocidade da primeira partícula permanece a mesma se a segunda partícula não se move após a colisão, que é o caso de um alvo fixo e massivo.

Passo 7

Agora, vamos resolver para o caso geral sem assumir $ v_{2}^{\prime} = 0 $ para obter as expressões completas.
A partir da conservação do momento:
v2^prime = 0
Como $ v_{2} = 0 $, e rearranjando para resolver $ v_{2}^{\prime} $:
v1^prime = m1 v1 - m2 v2^primem1
Substituindo de volta na equação de $ v_{1}^{\prime} $:
v2 = 0

Passo 8

Agora que temos as expressões gerais:
& v1^prime = m1 - m2m1 + m2 v1 & v2^prime = 2 m1m1 + m2 v1
Podemos analisar os casos particulares pedidos.

Passo 9

1. Quando as massas são iguais $ m_{1} = m_{2} $:
Substituindo $ m_{1} = m_{2} = m $ nas equações:
m1 = m2
Interpretação: A primeira partícula para completamente e a segunda partícula adquire a velocidade inicial da primeira. É como se elas trocassem suas velocidades.

Passo 10

2. Quando o alvo é massivo, $ m_{2} > m_{1} $, ou seja, $ m_{1} \pm m_{2} \approx m_{2} $:
Aqui, $ m_{1} \ll m_{2} $, então:
m2 > m1
Interpretação: A primeira partícula inverte sua direção e mantém aproximadamente a mesma velocidade, enquanto a segunda partícula quase não se move devido à sua grande massa.

Passo 11

3. Quando o projetil é massivo $ m_{1} \gg m_{2} $, ou seja, $ m_{1} \pm m_{2} \approx m_{1} $:
Aqui, $ m_{1} \gg m_{2} $, então:
m1 gg m2
Interpretação: A primeira partícula continua praticamente com a mesma velocidade, enquanto a segunda partícula adquire uma velocidade que é o dobro da velocidade inicial da primeira.

Resposta

Resolvemos as expressões para as velocidades após a colisão e analisamos os casos:
  1. Massas iguais ($ m_{1} = m_{2} $): m1 = m2
  2. Alvo massivo ($ m_{2} > m_{1} $): v1^prime = 0 e v2^prime = v1
  3. Projetil massivo ($ m_{1} \gg m_{2} $): m2 > m1

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