Um determinado canhão dispara
partículas, ao longo do eixo
, cada uma de massa
num intervalo de tempo
.
a) Sabendo que as partículas ficam incrustadas no alvo, determine a força média que a série de colisões aplica sobre o alvo.
b) Sabendo que o canhão tem massa
, determine o recuo sofrido pelo canhão
a) Sabendo que as partículas ficam incrustadas no alvo, determine a força média que a série de colisões aplica sobre o alvo.
b) Sabendo que o canhão tem massa
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Um canhão está disparando $ n $ partículas, cada uma com massa $ m $, ao longo do eixo $ x $ em um intervalo de tempo $ \Delta t $. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar a força média que essas partículas, ao colidirem e ficarem incrustadas no alvo, exercem sobre ele.
b) Determinar o recuo que o canhão, de massa $ M $, sofre por causa desses disparos.
a) Encontrar a força média que essas partículas, ao colidirem e ficarem incrustadas no alvo, exercem sobre ele.
b) Determinar o recuo que o canhão, de massa $ M $, sofre por causa desses disparos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento linear e força média.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a força média que as partículas exercem sobre o alvo.
Quando uma partícula colide e fica incrustada no alvo, há uma mudança no momento dela. O momento linear ($ p $) é dado por:
onde $ m $ é a massa e $ v $ a velocidade.
A força média ($ F $) pode ser relacionada à variação do momento ao longo do tempo:
Aqui, $ \Delta p $ é a mudança total do momento e $ \Delta t $ é o intervalo de tempo.
Passo 3
Como são $ n $ partículas disparadas em $ \Delta t $, cada uma com momento $ p = m \cdot v $, a mudança total do momento é:
Substituindo na fórmula da força média:
Então, essa é a expressão para a força média aplicada no alvo.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte: determinar o recuo do canhão.
De acordo com a Lei da Ação e Reação de Newton, se o canhão dispara as partículas com certa velocidade, ele sofrerá um recuo devido à conservação do momento.
O momento total para as partículas é:
Para manter o momento total do sistema (canhão + partículas) constante, o canhão deve ganhar um momento igual e oposto:
Sabendo que o momento do canhão é:
onde $ V $ é a velocidade do recuo, temos:
Resolvendo para $ V $:
O sinal negativo indica que o recuo é na direção oposta ao disparo.
Resposta
a) A força média é $ F = \frac{n \cdot m \cdot v}{\Delta t} $.
b) O recuo do canhão é $ V = -\frac{n \cdot m \cdot v}{M} $.