Mostre que
(-1)^1 / pi=e^(2 n+1) i, n in Z.

Passo 1

Nesse exercício a gente quer mostrar que, quando elevamos -1 à potência 1/pi, chega-se a um número complexo da forma e^(2n+1)i. O conteúdo principal é potência de número complexo e uso do logaritmo complexo multi-valorado.

Passo 2

Para resolver, usamos a definição de potência complexa: se z é um complexo e a um expoente, então
onde é o logaritmo complexo, que admite infinitos valores diferentes.

Passo 3

Precisamos agora calcular . Lembrando que
e para Log(-1) temos Log(z)=ln|z| + iArg(z), (logo z=-1) e
Portanto

Passo 4

Finalmente, substituímos no expoente:

Resposta

e^i(2n+1),;ninZ

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