Suponha que um ponto z=x+i y está na faixa horizontal alpha. Mostre que quando o ramo log z=ln r+i theta(r>0, alpha do logaritmo é usado, temos
log (e^z)=z

Passo 1

O enunciado diz que temos um número complexo z = x + i y com a parte imaginária satisfeita alpha < y < alpha + 2pi. Precisamos usar o ramo do logaritmo definido por , onde está em log w = ln|w| + iArg(w), e mostrar que com essa escolha vale Arg(w).

Passo 2

Primeiro, calculamos a exponencial de z. De fato, usando a fórmula de Euler temos:
e^z = e^x + i y = e^x,e^i y
Aqui o módulo de e^z é e^x>0 e seu argumento é exatamente y, que por hipótese está em (alpha,alpha+2pi).

Passo 3

Agora aplicamos o ramo do logaritmo a e^z. Pela definição,
Como log(e^z) = ln|e^z| + iArg(e^z) temos |e^z| = e^x, e como (já que ln|e^z|=x está no intervalo do ramo), obtemos
Arg(e^z)=y

Resposta

log(e^z)=z

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