Suponha que um ponto
está na faixa horizontal
. Mostre que quando o ramo
do logaritmo é usado, temos
Passo 1
O enunciado diz que temos um número complexo
com a parte imaginária satisfeita
. Precisamos usar o ramo do logaritmo definido por , onde está em
, e mostrar que com essa escolha vale
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a exponencial de
. De fato, usando a fórmula de Euler temos:
Aqui o módulo de
é
e seu argumento é exatamente
, que por hipótese está em
.
Passo 3
Agora aplicamos o ramo do logaritmo a
. Pela definição,
Como
temos
, e como (já que
está no intervalo do ramo), obtemos