Verifique que cada uma das seguintes funções é inteira:
f(z)=3 x+y+i(3 y-x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é inteira. Isso significa que a função precisa ser analítica em todo o plano complexo. Para isso, vamos usar os equações de Cauchy-Riemann, que são essenciais para determinar se uma função é complexa diferenciável em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função. Aqui, f(z) = u(x, y) + i v(x, y) , onde u(x, y) = 3x + y e v(x, y) = 3y - x são números reais. Então, podemos escrever:
onde:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de ux = partial upartial x = 3 e uy = partial upartial y = 1 em relação a vx = partial vpartial x = -1 e vy = partial vpartial y = 3 :

Passo 4

As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser analítica, as seguintes igualdades devem valer:
ux = vy
uy = -vx
Vamos verificar se elas são verdadeiras com os valores que encontramos.

Passo 5

Substituindo os valores:
ux = 3 e vy = 3 Rightarrow ux = vy (OK)
uy = 1 e -vx = 1 Rightarrow uy = -vx (OK)
Como ambas as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, a função é analítica.

Resposta

Portanto, a função é inteira.

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