Verifique que cada uma das seguintes funções é inteira:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é inteira. Isso significa que a função precisa ser analítica em todo o plano complexo. Para isso, vamos usar os equações de Cauchy-Riemann, que são essenciais para determinar se uma função é complexa diferenciável em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função. Aqui,
, onde
e
são números reais. Então, podemos escrever:
onde:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 4
As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser analítica, as seguintes igualdades devem valer:
Vamos verificar se elas são verdadeiras com os valores que encontramos.
Passo 5
Substituindo os valores:
Como ambas as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, a função
é analítica.
Resposta
Portanto, a função
é inteira.