Mostre que
log i=(2 n+12) pi i, n in Z;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a fórmula geral do logaritmo complexo de i. Isso envolve conteúdo de números complexos, mais precisamente a definição de logaritmo complexo e o conceito de argumento (ângulo) de um número na forma polar.

Passo 2

A definição de logaritmo complexo é
onde log z = ln|z| + iArg(z) é o módulo de z e é o argumento geral de z, dado por |z|.

Passo 3

No caso de z=i, o módulo é
|i| = 1
e, portanto,
ln|i| = ln 1 = 0
Já o argumento principal de i é
arg(i) = pi2

Passo 4

Como o argumento geral inclui múltiplos inteiros de 2pi, temos
Substituindo na definição de Arg(i) = pi2 + 2pi n, ninZ :
log i

Passo 5

Portanto chegamos à fórmula geral pedida.

Resposta

(2n+tfrac12)pi i, ninZ

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