Mostre que pode utilizar a regra de L’Hopital para determinar os limites abaixo, em seguida determine os valores dos limites
\lim _{z \rightarrow 1+i} \frac{z^{5}+4 z}{z^{2}-2 z+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{z\to 1+i}\frac{z^5+4z}{z^2-2z+2}
usando a regra de L’H^{o}pital. O conte’udo envolvido 'e an’alise complexa elementar: precisamos verificar as condi\c{c}~oes para aplicar L’H^{o}pital em fun\c{c}~oes holomorfas e ent~ao derivar numerador e denominador.

Passo 2

Defina
f(z)=z^5+4z, \quad g(z)=z^2-2z+2, \quad z_0=1+i.
Primeiro verificamos que em z_0 temos
f(z_0)=(1+i)^5+4(1+i)=(-4-4i)+4+4i=0, \quad g(z_0)=(1+i)^2-2(1+i)+2=2i-2-2i+2=0,
logo é uma forma indeterminada 0/0.

Passo 3

As fun\c{c}~oes f e g s~ao polin^omios em z, portanto holomorfas numa vizinhan\c{c}a de z_0. Calculamos tamb’em
g'(z)=2z-2 \quad\Longrightarrow\quad g'(z_0)=2(1+i)-2=2i\neq 0.
Como g'(z_0)\neq 0, todas as hip’oteses da regra de L’H^{o}pital em vari’avel complexa est~ao satisfeitas.

Passo 4

Aplicando L’H^{o}pital, o limite vale
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} =\lim_{z\to z_0}\frac{f'(z)}{g'(z)},
onde
f'(z)=5z^4+4, \quad g'(z)=2z-2.
Em z_0=1+i temos (1+i)^2=2i e (1+i)^4=(2i)^2=-4, ent~ao
f'(z_0)=5\cdot(-4)+4=-20+4=-16, \quad g'(z_0)=2i.

Passo 5

Logo o limite é
\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)} =\frac{-16}{2i} =-8\cdot\frac{1}{i} =-8(-i) =8i.

Resposta

\displaystyle 8i

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