(1 ponto) Determine o máximo divisor comum em \mathbf{Q}[x] dos polinômios f=x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-2 x+1 e y=x^{3}-2 x^{2}-5 x+6

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios em \mathbf{Q}[x] e pede o máximo divisor comum (MDC) deles. Os polinômios fornecidos são:
f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1,
g(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6.
O que se pede: determinar um polinômio d(x)\in\mathbf{Q}[x] de grau máximo tal que d(x) divide simultaneamente f(x) e g(x). Lembrar que em \mathbf{Q}[x] o MDC é determinado até multiplicação por uma constante não-nula em \mathbf{Q}; por convenção vamos escolher o MDC monico (coeficiente líder igual a 1).

Passo 2

Estratégia (ferramenta que vamos usar): o Algoritmo Euclidiano para polinômios. Este algoritmo diz que, se \deg a\ge\deg b, existem únicos q,r\in\mathbf{Q}[x] com
a(x)=b(x)\,q(x)+r(x),
onde r(x)=0 ou \deg r<\deg b. Repetindo a divisão trocando pares (b,r) obtemos o MDC como último resto não-nulo (normalizado para ser monico). Vou aplicar isso passo a passo, mostrando as divisões e simplificações.

Passo 3

Primeira divisão: dividir f(x) por g(x). O quociente tem primeiro termo
\frac{\text{coeficiente líder de }f}{\text{coeficiente líder de }g}=\frac{1}{1}=1,íí
e como \deg f=4, \deg g=3 o primeiro termo do quociente é x. Multiplicando:
x\cdot g(x)=x\bigl(x^{3}-2x^{2}-5x+6\bigr)=x^{4}-2x^{3}-5x^{2}+6x.
Subtraindo de f(x):
\begin{aligned} f(x)-x\cdot g(x) &=\bigl(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1\bigr)-\bigl(x^{4}-2x^{3}-5x^{2}+6x\bigr)\\[4pt] &=7x^{2}-8x+1. \end{aligned}
Então obtemos
f(x)=g(x)\cdot x + r_{1}(x),\qquad r_{1}(x)=7x^{2}-8x+1,
com \deg r_{1}=2<\deg g=3.]

Passo 4

Segunda divisão: dividir g(x) por r_{1}(x)=7x^{2}-8x+1. O termo líder do quociente é
\frac{x^{3}}{7x^{2}}=\frac{1}{7}x.
Multiplicando:
\frac{1}{7}x\cdot r_{1}(x)=\frac{1}{7}x\bigl(7x^{2}-8x+1\bigr)=x^{3}-\frac{8}{7}x^{2}+\frac{1}{7}x.
Subtraindo de g(x):
\begin{aligned} g(x)-\frac{1}{7}x\cdot r_{1}(x) &=\bigl(x^{3}-2x^{2}-5x+6\bigr)-\bigl(x^{3}-\tfrac{8}{7}x^{2}+\tfrac{1}{7}x\bigr)\\[4pt] &=-\tfrac{6}{7}x^{2}-\tfrac{36}{7}x+6. \end{aligned}
Multiplicando esse resto por 7 (isso não muda o MDC, pois 7 é invertível em \mathbf{Q}) obtemos o polinômio proporcional
-6x^{2}-36x+42.
Podemos ainda fatorar -6:
-6x^{2}-36x+42=-6\bigl(x^{2}+6x-7\bigr).
Como fatores constantes não importam para o MDC em \mathbf{Q}[x], vamos trabalhar com o polinômio primitivo (monico) de mesmo conteúdo:
r_{2}(x)=x^{2}+6x-7.
Assim temos, de forma equivalente para o algoritmo,
g(x)=r_{1}(x)\cdot\left(\tfrac{1}{7}x\right)+\text{(constante)}\cdot r_{2}(x),
ou, simplificando o rastreio de constantes, continuamos com os restos r_{1}(x) e r_{2}(x).]

Passo 5

Terceira divisão: dividir r_{1}(x)=7x^{2}-8x+1 por r_{2}(x)=x^{2}+6x-7. Como ambos têm grau 2, o quociente será uma constante. O termo quociente é
\frac{7x^{2}}{x^{2}}=7.
Multiplicando:
7\cdot r_{2}(x)=7x^{2}+42x-49.
Subtraindo:
\begin{aligned} r_{1}(x)-7\cdot r_{2}(x) &=\bigl(7x^{2}-8x+1\bigr)-\bigl(7x^{2}+42x-49\bigr)\\[4pt] &=-50x+50. \end{aligned}
Logo o próximo resto é
r_{3}(x)=-50x+50=-50(x-1).
Novamente, multiplicações por constantes racionais não alteram o MDC, então podemos tomar o polinômio primitivo correspondente
r_{3,\text{prim}}(x)=x-1.]

Passo 6

Quarta divisão: dividir r_{2}(x)=x^{2}+6x-7 por r_{3,\text{prim}}(x)=x-1. Fazendo a divisão (ou reconhecendo fatoração),
(x-1)(x+7)=x^{2}+6x-7,
portanto o resto é zero. Como o resto é zero, o último resto não-nulo é x-1. Normalizamos para a forma monica (já é monico).

Passo 7

Conclusão do Algoritmo Euclidiano: o máximo divisor comum em \mathbf{Q}[x] de f(x) e g(x) é o polinômio monico
d(x)=x-1.
Como verificação rápida, avaliar f(1) e g(1):
f(1)=1-2+2-2+1=0,\qquad g(1)=1-2-5+6=0,
o que confirma que x-1 é fator comum. O algoritmo mostrou que não existe fator comum de grau maior que 1.

Resposta

x-1

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