(1 ponto) Determine o máximo divisor comum em
dos polinômios
e
Passo 1
O enunciado dá dois polinômios em
e pede o máximo divisor comum (MDC) deles. Os polinômios fornecidos são:
O que se pede: determinar um polinômio
de grau máximo tal que
divide simultaneamente
e
. Lembrar que em
o MDC é determinado até multiplicação por uma constante não-nula em
; por convenção vamos escolher o MDC monico (coeficiente líder igual a
).
Passo 2
Estratégia (ferramenta que vamos usar): o Algoritmo Euclidiano para polinômios. Este algoritmo diz que, se
, existem únicos
com
onde
ou
. Repetindo a divisão trocando pares
obtemos o MDC como último resto não-nulo (normalizado para ser monico). Vou aplicar isso passo a passo, mostrando as divisões e simplificações.
Passo 3
Primeira divisão: dividir
por
. O quociente tem primeiro termo
e como
,
o primeiro termo do quociente é
. Multiplicando:
Subtraindo de
:
Então obtemos
com
.]
Passo 4
Segunda divisão: dividir
por
. O termo líder do quociente é
Multiplicando:
Subtraindo de
:
Multiplicando esse resto por
(isso não muda o MDC, pois
é invertível em
) obtemos o polinômio proporcional
Podemos ainda fatorar
:
Como fatores constantes não importam para o MDC em
, vamos trabalhar com o polinômio primitivo (monico) de mesmo conteúdo:
Assim temos, de forma equivalente para o algoritmo,
ou, simplificando o rastreio de constantes, continuamos com os restos
e
.]
Passo 5
Terceira divisão: dividir
por
. Como ambos têm grau
, o quociente será uma constante. O termo quociente é
Multiplicando:
Subtraindo:
Logo o próximo resto é
Novamente, multiplicações por constantes racionais não alteram o MDC, então podemos tomar o polinômio primitivo correspondente
Passo 6
Quarta divisão: dividir
por
. Fazendo a divisão (ou reconhecendo fatoração),
portanto o resto é zero. Como o resto é zero, o último resto não-nulo é
. Normalizamos para a forma monica (já é monico).
Passo 7
Conclusão do Algoritmo Euclidiano: o máximo divisor comum em
de
e
é o polinômio monico
Como verificação rápida, avaliar
e
:
o que confirma que
é fator comum. O algoritmo mostrou que não existe fator comum de grau maior que
.