Determine o valor de m, tal que o polinômio f(x)=2 x^{3}-m x^{2}+6 x-3 m seja divisível por g(x)=x+2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar o valor de m tal que o polinômio
f(x)=2x^{3}-m x^{2}+6x-3m
seja divisível por g(x)=x+2. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes): x+2 divide f(x) se e somente se f(-2)=0.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, como g(x)=x+2=x-(-2), basta impor
f(-2)=0.
Calculando f(-2):
f(-2)=2(-2)^{3}-m(-2)^{2}+6(-2)-3m =2\cdot(-8)-m\cdot4-12-3m =-16-4m-12-3m =-28-7m.

Passo 3

Impondo f(-2)=0 temos
-28-7m=0 \quad\Longrightarrow\quad 7m=-28 \quad\Longrightarrow\quad m=-4.

Resposta

m=-4

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