Mostre que o polinômio p(x)=8 x^3-6 x-1 possui exatamente três raízes reais distintas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o polinômio $ p(x) = 8x^{3} - 6x - 1 $ e a missão é provar que ele tem exatamente três raízes reais e diferentes. Para fazer isso, vamos usar conceitos de polinômios e derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções. Precisamos analisar como esse polinômio se comporta no gráfico para identificar quantas vezes ele cruza o eixo x, ou seja, quantas soluções reais ele tem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de terceiro grau, como esse, pode ter no máximo três raízes reais. Para descobrir quantas ele realmente tem, vamos analisar suas variações usando a derivada, que nos mostra onde a função tem máximos e mínimos.
Vamos calcular a derivada de $ p(x) $:
p(x)
Essa derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos, onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ p’(x) = 0 $:
p'(x) = 0
Então, os pontos críticos estão em $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = -\frac{1}{2} $. Isso significa que o gráfico da função tem um máximo e um mínimo nesses pontos.

Passo 4

Agora vamos avaliar o valor de $ p(x) $ nesses pontos críticos para entender como a função se comporta:
Para $ x = \frac{1}{2} $:
p(x)
Para $ x = -\frac{1}{2} $:
x = 12
Então, temos um ponto de máximo em $ x = -\frac{1}{2} $ com $ p(x) = 1 $ e um ponto de mínimo em $ x = \frac{1}{2} $ com $ p(x) = -3 $.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função nos extremos:
  • Quando $ x $ tende a $ +\infty $, o termo dominante é $ 8x^{3} $, que vai para $ +\infty $.
  • Quando $ x $ tende a $ -\infty $, o termo dominante é $ 8x^{3} $, que vai para $ -\infty $.
Com isso, sabemos que a função começa descendo para $ -\infty $, atinge um ponto de máximo, desce até o ponto de mínimo e depois cresce novamente rumo a $ +\infty $.

Passo 6

Agora, juntando todas as informações:
  • A função tem um ponto de máximo em $ p(x) = 1 $ e um ponto de mínimo em $ p(x) = -3 $.
  • Como ela vai de $ -\infty $ a $ +\infty $, e os valores no máximo e mínimo são positivos e negativos respectivamente, a função deve cortar o eixo x três vezes: uma vez antes do máximo, outra entre o máximo e o mínimo, e uma terceira depois do mínimo.
Isso significa que o polinômio $ p(x) = 8x^{3} - 6x - 1 $ tem exatamente três raízes reais e distintas.

Resposta

O polinômio $ p(x) = 8x^{3} - 6x - 1 $ possui exatamente três raízes reais distintas.

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