Determine o valor da constante c para que a função abaixo seja contínua em toda a reta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o valor da constante $ c $ para que a função seja contínua em toda a reta. A função dada é:
Para garantir que a função seja contínua em $ x = 1 $, precisamos que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 seja igual a $ c $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. A gente substitui diretamente:
Substituindo $ x = 1 $:
Isso dá uma forma indeterminada, então a gente precisa manipular a expressão para resolver.
Passo 3
Vamos racionalizar o numerador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é $ 2x + \sqrt{x^{2}+3} $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Podemos cancelar o $ (x-1) $ no numerador e no denominador:
Agora, não temos mais a forma indeterminada e podemos substituir $ x = 1 $:
Resposta
O valor da constante $ c $ é $ \frac{3}{2} $.