Determine o valor da constante c para que a função abaixo seja contínua em toda a reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o valor da constante $ c $ para que a função seja contínua em toda a reta. A função dada é:
c
Para garantir que a função seja contínua em $ x = 1 $, precisamos que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 seja igual a $ c $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. A gente substitui diretamente:
f(x)
Substituindo $ x = 1 $:
x
Isso dá uma forma indeterminada, então a gente precisa manipular a expressão para resolver.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é $ 2x + \sqrt{x^{2}+3} $:
2x + raizx^2+3

Passo 4

Agora, vamos calcular o numerador:
(2x)^2 - (raizx^2+3)^2 = 4x^2 - (x^2+3) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 -1) = 3(x-1)(x+1)
Então, a expressão fica:
3(x-1)(x+1)(x-1)(2x + raizx^2+3)

Passo 5

Podemos cancelar o $ (x-1) $ no numerador e no denominador:
(x-1)
Agora, não temos mais a forma indeterminada e podemos substituir $ x = 1 $:
3(x+1)2x + raizx^2+3

Resposta

O valor da constante $ c $ é $ \frac{3}{2} $.

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