Mostre que o polinômio
possui um valor máximo e esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede duas coisas:
- Mostrar que
possui um valor máximo. - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
: . - Não há outras condições (domínio implícito é todo
).
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): um polinômio de grau 2 (uma quadrática) tem gráfico em forma de parábola. O sinal do coeficiente de
indica se a parábola abre para cima (mínimo) ou para baixo (máximo). Para encontrar o ponto de máximo (ou mínimo) usamos duas maneiras simples e úteis em provas: completar o quadrado (método algébrico) ou derivar e usar o teste da segunda derivada (método do cálculo). Vou fazer os dois: primeiro completar o quadrado (método totalmente algébrico e direto), depois confirmar com derivadas (método rápido e também didático).
Passo 3
Completar o quadrado passo a passo para encontrar a forma de vértice da parábola.
Começo reescrevendo
agrupando o termo quadrático:
Fatorando o sinal negativo dos termos que envolvem
:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para isso uso a identidade
Substituindo:
Distribuindo o sinal negativo e somando os constantes:
Calculo
e
, logo
Interpretação: a expressão está na forma de vértice
ou seja, é uma parábola com vértice em
e coeficiente do quadrado negativo (
), portanto a parábola abre para baixo. Isso mostra diretamente que
atinge um valor máximo e que esse máximo é
Passo 4
Confirmação pelo método das derivadas (útil para provas e para entender o porquê):
Calculo a derivada de
:
Procuro pontos críticos resolvendo
:
Calculo a segunda derivada para classificar o ponto crítico:
Como
para todo
, o ponto crítico em
é um máximo local. Como a função é uma quadrática que abre para baixo, esse máximo local é também o máximo global. O valor é
confirmação perfeita do Passo 3.
Passo 5
Pontos úteis para esboçar o gráfico (calculei alguns pontos e interceptos):
- Vértice:
ou em decimal . - Intercepto em
: , isto é o ponto . - Interceptos em
(raízes): resolver ,
Discriminante
. As raízes são
Em aproximações numéricas:
Esses três pontos (vértice, intercepto em
e interceptos em
) bastam para um esboço correto: a parábola passa por
, cruza o eixo
em
e
, tem eixo de simetria
e vértice no ponto indicado.
Passo 6
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer rápido na prova):
- Marcar o vértice em
— ponto mais alto. - Desenhar a linha vertical
como eixo de simetria (opcional leve, só para orientar). - Marcar o intercepto em
: . - Marcar as raízes aproximadas
e . - Desenhar uma curva suave em forma de U invertido (abre para baixo) passando por esses pontos e tendo o vértice como ponto máximo.
Pronto — gráfico esboçado com os pontos-chave e a forma correta.
Resposta
Máximo em
com valor máximo
.
Esboço: parábola voltada para baixo com vértice em , interceptos em
(aproximadamente
e
) e intercepto em
igual a
.
Esboço: parábola voltada para baixo com vértice em