Mostre que o polinômio p(x)=5 x-x^{2}+4 possui um valor máximo e esboce o gráfico de p(x).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=5x-x^{2}+4
e pede duas coisas:
  • Mostrar que p(x) possui um valor máximo.
  • Esboçar o gráfico de p(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de p(x): -x^{2}+5x+4.
  • Não há outras condições (domínio implícito é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): um polinômio de grau 2 (uma quadrática) tem gráfico em forma de parábola. O sinal do coeficiente de x^{2} indica se a parábola abre para cima (mínimo) ou para baixo (máximo). Para encontrar o ponto de máximo (ou mínimo) usamos duas maneiras simples e úteis em provas: completar o quadrado (método algébrico) ou derivar e usar o teste da segunda derivada (método do cálculo). Vou fazer os dois: primeiro completar o quadrado (método totalmente algébrico e direto), depois confirmar com derivadas (método rápido e também didático).

Passo 3

Completar o quadrado passo a passo para encontrar a forma de vértice da parábola.
Começo reescrevendo p(x) agrupando o termo quadrático:
p(x)=-x^{2}+5x+4.
Fatorando o sinal negativo dos termos que envolvem x:
p(x)=-(x^{2}-5x)+4.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para isso uso a identidade
x^{2}-5x=\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}.
Substituindo:
p(x)= -\Bigl[\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}\Bigr]+4.
Distribuindo o sinal negativo e somando os constantes:
p(x)= -\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} +\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}+4.
Calculo \bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{25}{4} e 4=\tfrac{16}{4}, logo
p(x)=-\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} +\frac{25}{4}+\frac{16}{4} =-\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} +\frac{41}{4}.
Interpretação: a expressão está na forma de vértice
p(x)=-\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} +\frac{41}{4},
ou seja, é uma parábola com vértice em \bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{41}{4}\bigr) e coeficiente do quadrado negativo ( -1), portanto a parábola abre para baixo. Isso mostra diretamente que p(x) atinge um valor máximo e que esse máximo é
p\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\frac{41}{4}.

Passo 4

Confirmação pelo método das derivadas (útil para provas e para entender o porquê):
Calculo a derivada de p:
p'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}+5x+4\bigr)=-2x+5.
Procuro pontos críticos resolvendo p'(x)=0:
-2x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{5}{2}.
Calculo a segunda derivada para classificar o ponto crítico:
p''(x)=\frac{d}{dx}(-2x+5)=-2.
Como p''(x)=-2<0 para todo x, o ponto crítico em x=\tfrac{5}{2} é um máximo local. Como a função é uma quadrática que abre para baixo, esse máximo local é também o máximo global. O valor é
p\!\left(\tfrac{5}{2}\right)= -\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2}+5\cdot \tfrac{5}{2}+4=\frac{41}{4},
confirmação perfeita do Passo 3.

Passo 5

Pontos úteis para esboçar o gráfico (calculei alguns pontos e interceptos):
  • Vértice: \displaystyle\left(\tfrac{5}{2},\tfrac{41}{4}\right) ou em decimal \left(2,5,\;10,25\right).
  • Intercepto em y: p(0)=4, isto é o ponto \bigl(0,4\bigr).
  • Interceptos em x (raízes): resolver p(x)=0,
-x^{2}+5x+4=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2}-5x-4=0.
Discriminante \Delta=5^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=25+16=41. As raízes são
x=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}.
Em aproximações numéricas:
x\approx -0,7016\quad\text{e}\quad x\approx 5,7016.
Esses três pontos (vértice, intercepto em y e interceptos em x) bastam para um esboço correto: a parábola passa por (0,4), cruza o eixo x em \approx(-0,7016,0) e \approx(5,7016,0), tem eixo de simetria x=\tfrac{5}{2} e vértice no ponto indicado.

Passo 6

Como esboçar na prática (passo a passo para fazer rápido na prova):
  1. Marcar o vértice em \bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{41}{4}\bigr) — ponto mais alto.
  2. Desenhar a linha vertical x=\tfrac{5}{2} como eixo de simetria (opcional leve, só para orientar).
  3. Marcar o intercepto em y: (0,4).
  4. Marcar as raízes aproximadas \bigl(-0,7016,0\bigr) e \bigl(5,7016,0\bigr).
  5. Desenhar uma curva suave em forma de U invertido (abre para baixo) passando por esses pontos e tendo o vértice como ponto máximo.
Pronto — gráfico esboçado com os pontos-chave e a forma correta.

Resposta

Máximo em x=\tfrac{5}{2} com valor máximo p\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{41}{4}.
Esboço: parábola voltada para baixo com vértice em \left(\tfrac{5}{2},\tfrac{41}{4}\right), interceptos em x=\dfrac{5\pm\sqrt{41}}{2} (aproximadamente -0,7016 e 5,7016) e intercepto em y igual a 4.

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